Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100110 / 98580
↖ ↑ ↗
← S 66.813547°
E 94.960327°		 ← 120.23 m → S 66.813547°
E 94.963073°		 →
↑
120.22 m
↓
↑
120.22 m
↓
S 66.814628°
E 94.960327°		 ← 120.22 m →
14 454 m²		 S 66.814628°
E 94.963073°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763782501220703 y=0.752109527587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763782501220703 × 217)
    floor (0.763782501220703 × 131072)
    floor (100110.5)     		tx = 100110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752109527587891 × 217)
    floor (0.752109527587891 × 131072)
    floor (98580.5)     		ty = 98580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100110 / 98580 ti = "17/100110/98580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100110/98580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100110 ÷ 217
    100110 ÷ 131072     		x = 0.763778686523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98580 ÷ 217
    98580 ÷ 131072     		y = 0.752105712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763778686523438 × 2 - 1) × π
    0.527557373046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65737037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752105712890625 × 2 - 1) × π
    -0.50421142578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.58402691104514
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65737037} λ = 1.65737037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58402691104514))-π/2
    2×atan(0.205147322614834)-π/2
    2×0.202339973859524-π/2
    0.404679947719049-1.57079632675     		φ = -1.16611638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65737037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.960327°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16611638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.813547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100110 KachelY 98580 1.65737037 -1.16611638 94.960327 -66.813547
    Oben rechts KachelX + 1 100111 KachelY 98580 1.65741830 -1.16611638 94.963073 -66.813547
    Unten links KachelX 100110 KachelY + 1 98581 1.65737037 -1.16613525 94.960327 -66.814628
    Unten rechts KachelX + 1 100111 KachelY + 1 98581 1.65741830 -1.16613525 94.963073 -66.814628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16611638--1.16613525) × R
    1.88699999998931e-05 × 6371000     		dl = 120.220769999319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16611638--1.16613525) × R
    1.88699999998931e-05 × 6371000     		dr = 120.220769999319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65737037-1.65741830) × cos(-1.16611638) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.393724578527302 × 6371000     		do = 120.228536560065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65737037-1.65741830) × cos(-1.16613525) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.39370723261622 × 6371000     		du = 120.223239777445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16611638)-sin(-1.16613525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393724578527302-0.39370723261622)×R²
    abs(1.65741830-1.65737037)×1.73459110816565e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.73459110816565e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.73459110816565e-05×40589641000000     		ar = 14453.6488499692m²