Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100110 / 101645
↖ ↑ ↗
← S 69.912385°
E 94.960327°		 ← 104.88 m → S 69.912385°
E 94.963073°		 →
↑
104.87 m
↓
↑
104.87 m
↓
S 69.913328°
E 94.960327°		 ← 104.87 m →
10 998 m²		 S 69.913328°
E 94.963073°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763782501220703 y=0.775493621826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763782501220703 × 217)
    floor (0.763782501220703 × 131072)
    floor (100110.5)     		tx = 100110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775493621826172 × 217)
    floor (0.775493621826172 × 131072)
    floor (101645.5)     		ty = 101645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100110 / 101645 ti = "17/100110/101645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100110/101645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100110 ÷ 217
    100110 ÷ 131072     		x = 0.763778686523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101645 ÷ 217
    101645 ÷ 131072     		y = 0.775489807128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763778686523438 × 2 - 1) × π
    0.527557373046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65737037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775489807128906 × 2 - 1) × π
    -0.550979614257812 × 3.1415926535     		Φ = -1.73095350838061
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65737037} λ = 1.65737037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73095350838061))-π/2
    2×atan(0.177115448365175)-π/2
    2×0.175297514404063-π/2
    0.350595028808127-1.57079632675     		φ = -1.22020130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65737037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.960327°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22020130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.912385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100110 KachelY 101645 1.65737037 -1.22020130 94.960327 -69.912385
    Oben rechts KachelX + 1 100111 KachelY 101645 1.65741830 -1.22020130 94.963073 -69.912385
    Unten links KachelX 100110 KachelY + 1 101646 1.65737037 -1.22021776 94.960327 -69.913328
    Unten rechts KachelX + 1 100111 KachelY + 1 101646 1.65741830 -1.22021776 94.963073 -69.913328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22020130--1.22021776) × R
    1.64599999998849e-05 × 6371000     		dl = 104.866659999267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22020130--1.22021776) × R
    1.64599999998849e-05 × 6371000     		dr = 104.866659999267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65737037-1.65741830) × cos(-1.22020130) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.343456698654343 × 6371000     		do = 104.878634718253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65737037-1.65741830) × cos(-1.22021776) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.343441239894091 × 6371000     		du = 104.873914199841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22020130)-sin(-1.22021776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343456698654343-0.343441239894091)×R²
    abs(1.65741830-1.65737037)×1.54587602527734e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54587602527734e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54587602527734e-05×40589641000000     		ar = 10998.0246158816m²