Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10011 / 10466
↖ ↑ ↗
← S 44.621754°
E 39.968262°		 ← 1 739.03 m → S 44.621754°
E 39.990234°		 →
↑
1 738.77 m
↓
↑
1 738.77 m
↓
S 44.637391°
E 39.968262°		 ← 1 738.56 m →
3 023 366 m²		 S 44.637391°
E 39.990234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611053466796875 y=0.638824462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611053466796875 × 214)
    floor (0.611053466796875 × 16384)
    floor (10011.5)     		tx = 10011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638824462890625 × 214)
    floor (0.638824462890625 × 16384)
    floor (10466.5)     		ty = 10466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10011 / 10466 ti = "14/10011/10466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10011/10466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10011 ÷ 214
    10011 ÷ 16384     		x = 0.61102294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10466 ÷ 214
    10466 ÷ 16384     		y = 0.6387939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61102294921875 × 2 - 1) × π
    0.2220458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69757776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6387939453125 × 2 - 1) × π
    -0.277587890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.872068077888062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69757776} λ = 0.69757776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.872068077888062))-π/2
    2×atan(0.41808602011179)-π/2
    2×0.39599989990905-π/2
    0.791999799818101-1.57079632675     		φ = -0.77879653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69757776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.968262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77879653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.621754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10011 KachelY 10466 0.69757776 -0.77879653 39.968262 -44.621754
    Oben rechts KachelX + 1 10012 KachelY 10466 0.69796126 -0.77879653 39.990234 -44.621754
    Unten links KachelX 10011 KachelY + 1 10467 0.69757776 -0.77906945 39.968262 -44.637391
    Unten rechts KachelX + 1 10012 KachelY + 1 10467 0.69796126 -0.77906945 39.990234 -44.637391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77879653--0.77906945) × R
    0.00027292000000001 × 6371000     		dl = 1738.77332000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77879653--0.77906945) × R
    0.00027292000000001 × 6371000     		dr = 1738.77332000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69757776-0.69796126) × cos(-0.77879653) × R
    0.000383499999999981 × 0.711759398668387 × 6371000     		do = 1739.02643593931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69757776-0.69796126) × cos(-0.77906945) × R
    0.000383499999999981 × 0.711567666783088 × 6371000     		du = 1738.5579815462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77879653)-sin(-0.77906945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.711759398668387-0.711567666783088)×R²
    abs(0.69796126-0.69757776)×0.000191731885298085×R²
    0.000383499999999981×0.000191731885298085×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191731885298085×40589641000000     		ar = 3023365.52035263m²