Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100109 / 99791
↖ ↑ ↗
← S 68.088684°
E 94.957581°		 ← 113.98 m → S 68.088684°
E 94.960327°		 →
↑
113.98 m
↓
↑
113.98 m
↓
S 68.089709°
E 94.957581°		 ← 113.97 m →
12 990 m²		 S 68.089709°
E 94.960327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763774871826172 y=0.761348724365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763774871826172 × 217)
    floor (0.763774871826172 × 131072)
    floor (100109.5)     		tx = 100109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761348724365234 × 217)
    floor (0.761348724365234 × 131072)
    floor (99791.5)     		ty = 99791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100109 / 99791 ti = "17/100109/99791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100109/99791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100109 ÷ 217
    100109 ÷ 131072     		x = 0.763771057128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99791 ÷ 217
    99791 ÷ 131072     		y = 0.761344909667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763771057128906 × 2 - 1) × π
    0.527542114257812 × 3.1415926535     		Λ = 1.65732243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761344909667969 × 2 - 1) × π
    -0.522689819335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.64207849648502
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65732243} λ = 1.65732243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64207849648502))-π/2
    2×atan(0.193577274175883)-π/2
    2×0.191212303462021-π/2
    0.382424606924041-1.57079632675     		φ = -1.18837172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65732243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.957581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18837172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.088684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100109 KachelY 99791 1.65732243 -1.18837172 94.957581 -68.088684
    Oben rechts KachelX + 1 100110 KachelY 99791 1.65737037 -1.18837172 94.960327 -68.088684
    Unten links KachelX 100109 KachelY + 1 99792 1.65732243 -1.18838961 94.957581 -68.089709
    Unten rechts KachelX + 1 100110 KachelY + 1 99792 1.65737037 -1.18838961 94.960327 -68.089709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18837172--1.18838961) × R
    1.78900000000759e-05 × 6371000     		dl = 113.977190000484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18837172--1.18838961) × R
    1.78900000000759e-05 × 6371000     		dr = 113.977190000484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65732243-1.65737037) × cos(-1.18837172) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.373171023524544 × 6371000     		do = 113.976036006466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65732243-1.65737037) × cos(-1.18838961) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.373154425792441 × 6371000     		du = 113.970966631857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18837172)-sin(-1.18838961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373171023524544-0.373154425792441)×R²
    abs(1.65737037-1.65732243)×1.65977321023303e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65977321023303e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65977321023303e-05×40589641000000     		ar = 12990.3794151993m²