Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100108 / 101635
↖ ↑ ↗
← S 69.902949°
E 94.954834°		 ← 104.95 m → S 69.902949°
E 94.957581°		 →
↑
104.93 m
↓
↑
104.93 m
↓
S 69.903893°
E 94.954834°		 ← 104.94 m →
11 012 m²		 S 69.903893°
E 94.957581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763767242431641 y=0.775417327880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763767242431641 × 217)
    floor (0.763767242431641 × 131072)
    floor (100108.5)     		tx = 100108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775417327880859 × 217)
    floor (0.775417327880859 × 131072)
    floor (101635.5)     		ty = 101635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100108 / 101635 ti = "17/100108/101635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100108/101635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100108 ÷ 217
    100108 ÷ 131072     		x = 0.763763427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101635 ÷ 217
    101635 ÷ 131072     		y = 0.775413513183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763763427734375 × 2 - 1) × π
    0.52752685546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65727449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775413513183594 × 2 - 1) × π
    -0.550827026367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.73047413938441
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65727449} λ = 1.65727449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73047413938441))-π/2
    2×atan(0.177200372373211)-π/2
    2×0.175379854184215-π/2
    0.35075970836843-1.57079632675     		φ = -1.22003662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65727449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.954834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22003662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.902949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100108 KachelY 101635 1.65727449 -1.22003662 94.954834 -69.902949
    Oben rechts KachelX + 1 100109 KachelY 101635 1.65732243 -1.22003662 94.957581 -69.902949
    Unten links KachelX 100108 KachelY + 1 101636 1.65727449 -1.22005309 94.954834 -69.903893
    Unten rechts KachelX + 1 100109 KachelY + 1 101636 1.65732243 -1.22005309 94.957581 -69.903893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22003662--1.22005309) × R
    1.64700000000462e-05 × 6371000     		dl = 104.930370000294m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22003662--1.22005309) × R
    1.64700000000462e-05 × 6371000     		dr = 104.930370000294m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65727449-1.65732243) × cos(-1.22003662) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343611356267208 × 6371000     		do = 104.947752760247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65727449-1.65732243) × cos(-1.22005309) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343595889046952 × 6371000     		du = 104.943028673055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22003662)-sin(-1.22005309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343611356267208-0.343595889046952)×R²
    abs(1.65732243-1.65727449)×1.54672202552497e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54672202552497e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54672202552497e-05×40589641000000     		ar = 11011.9586779272m²