Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100107 / 97033
↖ ↑ ↗
← S 65.082546°
E 94.952088°		 ← 128.65 m → S 65.082546°
E 94.954834°		 →
↑
128.69 m
↓
↑
128.69 m
↓
S 65.083704°
E 94.952088°		 ← 128.65 m →
16 556 m²		 S 65.083704°
E 94.954834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763759613037109 y=0.740306854248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763759613037109 × 217)
    floor (0.763759613037109 × 131072)
    floor (100107.5)     		tx = 100107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740306854248047 × 217)
    floor (0.740306854248047 × 131072)
    floor (97033.5)     		ty = 97033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100107 / 97033 ti = "17/100107/97033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100107/97033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100107 ÷ 217
    100107 ÷ 131072     		x = 0.763755798339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97033 ÷ 217
    97033 ÷ 131072     		y = 0.740303039550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763755798339844 × 2 - 1) × π
    0.527511596679688 × 3.1415926535     		Λ = 1.65722656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740303039550781 × 2 - 1) × π
    -0.480606079101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.50986852733291
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65722656} λ = 1.65722656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50986852733291))-π/2
    2×atan(0.220939023492673)-π/2
    2×0.217445801204083-π/2
    0.434891602408166-1.57079632675     		φ = -1.13590472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65722656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.952088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13590472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.082546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100107 KachelY 97033 1.65722656 -1.13590472 94.952088 -65.082546
    Oben rechts KachelX + 1 100108 KachelY 97033 1.65727449 -1.13590472 94.954834 -65.082546
    Unten links KachelX 100107 KachelY + 1 97034 1.65722656 -1.13592492 94.952088 -65.083704
    Unten rechts KachelX + 1 100108 KachelY + 1 97034 1.65727449 -1.13592492 94.954834 -65.083704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13590472--1.13592492) × R
    2.01999999998037e-05 × 6371000     		dl = 128.694199998749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13590472--1.13592492) × R
    2.01999999998037e-05 × 6371000     		dr = 128.694199998749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65722656-1.65727449) × cos(-1.13590472) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.42131210034075 × 6371000     		do = 128.652718223694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65722656-1.65727449) × cos(-1.13592492) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.421293780557352 × 6371000     		du = 128.647124057446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13590472)-sin(-1.13592492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42131210034075-0.421293780557352)×R²
    abs(1.65727449-1.65722656)×1.83197833975579e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.83197833975579e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.83197833975579e-05×40589641000000     		ar = 16556.4986817014m²