Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100102 / 100612
↖ ↑ ↗
← S 68.914957°
E 94.938354°		 ← 109.88 m → S 68.914957°
E 94.941101°		 →
↑
109.90 m
↓
↑
109.90 m
↓
S 68.915946°
E 94.938354°		 ← 109.87 m →
12 075 m²		 S 68.915946°
E 94.941101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763721466064453 y=0.767612457275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763721466064453 × 217)
    floor (0.763721466064453 × 131072)
    floor (100102.5)     		tx = 100102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767612457275391 × 217)
    floor (0.767612457275391 × 131072)
    floor (100612.5)     		ty = 100612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100102 / 100612 ti = "17/100102/100612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100102/100612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100102 ÷ 217
    100102 ÷ 131072     		x = 0.763717651367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100612 ÷ 217
    100612 ÷ 131072     		y = 0.767608642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763717651367188 × 2 - 1) × π
    0.527435302734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65698687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767608642578125 × 2 - 1) × π
    -0.53521728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.68143469107309
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65698687} λ = 1.65698687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68143469107309))-π/2
    2×atan(0.186106778678396)-π/2
    2×0.184001706703717-π/2
    0.368003413407433-1.57079632675     		φ = -1.20279291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65698687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.938354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20279291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.914957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100102 KachelY 100612 1.65698687 -1.20279291 94.938354 -68.914957
    Oben rechts KachelX + 1 100103 KachelY 100612 1.65703481 -1.20279291 94.941101 -68.914957
    Unten links KachelX 100102 KachelY + 1 100613 1.65698687 -1.20281016 94.938354 -68.915946
    Unten rechts KachelX + 1 100103 KachelY + 1 100613 1.65703481 -1.20281016 94.941101 -68.915946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20279291--1.20281016) × R
    1.72499999999687e-05 × 6371000     		dl = 109.8997499998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20279291--1.20281016) × R
    1.72499999999687e-05 × 6371000     		dr = 109.8997499998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65698687-1.65703481) × cos(-1.20279291) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.359753243320205 × 6371000     		do = 109.877900558911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65698687-1.65703481) × cos(-1.20281016) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.359737148197614 × 6371000     		du = 109.872984694183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20279291)-sin(-1.20281016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359753243320205-0.359737148197614)×R²
    abs(1.65703481-1.65698687)×1.60951225905981e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.60951225905981e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.60951225905981e-05×40589641000000     		ar = 12075.283675991m²