Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100101 / 97019
↖ ↑ ↗
← S 65.066341°
E 94.935608°		 ← 128.73 m → S 65.066341°
E 94.938354°		 →
↑
128.76 m
↓
↑
128.76 m
↓
S 65.067499°
E 94.935608°		 ← 128.73 m →
16 575 m²		 S 65.067499°
E 94.938354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763713836669922 y=0.740200042724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763713836669922 × 217)
    floor (0.763713836669922 × 131072)
    floor (100101.5)     		tx = 100101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740200042724609 × 217)
    floor (0.740200042724609 × 131072)
    floor (97019.5)     		ty = 97019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100101 / 97019 ti = "17/100101/97019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100101/97019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100101 ÷ 217
    100101 ÷ 131072     		x = 0.763710021972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97019 ÷ 217
    97019 ÷ 131072     		y = 0.740196228027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763710021972656 × 2 - 1) × π
    0.527420043945312 × 3.1415926535     		Λ = 1.65693894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740196228027344 × 2 - 1) × π
    -0.480392456054688 × 3.1415926535     		Φ = -1.50919741073823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65693894} λ = 1.65693894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50919741073823))-π/2
    2×atan(0.221087349104074)-π/2
    2×0.217587219004239-π/2
    0.435174438008478-1.57079632675     		φ = -1.13562189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65693894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.935608°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13562189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.066341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100101 KachelY 97019 1.65693894 -1.13562189 94.935608 -65.066341
    Oben rechts KachelX + 1 100102 KachelY 97019 1.65698687 -1.13562189 94.938354 -65.066341
    Unten links KachelX 100101 KachelY + 1 97020 1.65693894 -1.13564210 94.935608 -65.067499
    Unten rechts KachelX + 1 100102 KachelY + 1 97020 1.65698687 -1.13564210 94.938354 -65.067499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13562189--1.13564210) × R
    2.0210000000187e-05 × 6371000     		dl = 128.757910001192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13562189--1.13564210) × R
    2.0210000000187e-05 × 6371000     		dr = 128.757910001192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65693894-1.65698687) × cos(-1.13562189) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.421568586458033 × 6371000     		do = 128.731039344538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65693894-1.65698687) × cos(-1.13564210) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.421550260014291 × 6371000     		du = 128.725443144474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13562189)-sin(-1.13564210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421568586458033-0.421550260014291)×R²
    abs(1.65698687-1.65693894)×1.83264437420005e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.83264437420005e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.83264437420005e-05×40589641000000     		ar = 16574.7793013043m²