Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100100 / 101632
↖ ↑ ↗
← S 69.900118°
E 94.932861°		 ← 104.96 m → S 69.900118°
E 94.935608°		 →
↑
104.93 m
↓
↑
104.93 m
↓
S 69.901061°
E 94.932861°		 ← 104.96 m →
11 013 m²		 S 69.901061°
E 94.935608°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763706207275391 y=0.775394439697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763706207275391 × 217)
    floor (0.763706207275391 × 131072)
    floor (100100.5)     		tx = 100100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775394439697266 × 217)
    floor (0.775394439697266 × 131072)
    floor (101632.5)     		ty = 101632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100100 / 101632 ti = "17/100100/101632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100100/101632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100100 ÷ 217
    100100 ÷ 131072     		x = 0.763702392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101632 ÷ 217
    101632 ÷ 131072     		y = 0.775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763702392578125 × 2 - 1) × π
    0.52740478515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65689100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775390625 × 2 - 1) × π
    -0.55078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.73033032868555
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65689100} λ = 1.65689100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73033032868555))-π/2
    2×atan(0.177225857515075)-π/2
    2×0.175404563347454-π/2
    0.350809126694908-1.57079632675     		φ = -1.21998720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65689100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.932861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21998720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.900118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100100 KachelY 101632 1.65689100 -1.21998720 94.932861 -69.900118
    Oben rechts KachelX + 1 100101 KachelY 101632 1.65693894 -1.21998720 94.935608 -69.900118
    Unten links KachelX 100100 KachelY + 1 101633 1.65689100 -1.22000367 94.932861 -69.901061
    Unten rechts KachelX + 1 100101 KachelY + 1 101633 1.65693894 -1.22000367 94.935608 -69.901061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21998720--1.22000367) × R
    1.64700000000462e-05 × 6371000     		dl = 104.930370000294m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21998720--1.22000367) × R
    1.64700000000462e-05 × 6371000     		dr = 104.930370000294m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65689100-1.65693894) × cos(-1.21998720) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.343657766759656 × 6371000     		do = 104.961927719733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65689100-1.65693894) × cos(-1.22000367) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.343642299819095 × 6371000     		du = 104.957203717966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21998720)-sin(-1.22000367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343657766759656-0.343642299819095)×R²
    abs(1.65693894-1.65689100)×1.5466940561093e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.5466940561093e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.5466940561093e-05×40589641000000     		ar = 11013.4460661497m²