Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10010 / 10282
↖ ↑ ↗
← S 41.672912°
E 39.946289°		 ← 1 824.97 m → S 41.672912°
E 39.968262°		 →
↑
1 824.78 m
↓
↑
1 824.78 m
↓
S 41.689322°
E 39.946289°		 ← 1 824.50 m →
3 329 740 m²		 S 41.689322°
E 39.968262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610992431640625 y=0.627593994140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610992431640625 × 214)
    floor (0.610992431640625 × 16384)
    floor (10010.5)     		tx = 10010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627593994140625 × 214)
    floor (0.627593994140625 × 16384)
    floor (10282.5)     		ty = 10282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10010 / 10282 ti = "14/10010/10282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10010/10282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10010 ÷ 214
    10010 ÷ 16384     		x = 0.6109619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10282 ÷ 214
    10282 ÷ 16384     		y = 0.6275634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6109619140625 × 2 - 1) × π
    0.221923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69719427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6275634765625 × 2 - 1) × π
    -0.255126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.801504961647339
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69719427} λ = 0.69719427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.801504961647339))-π/2
    2×atan(0.448653249848752)-π/2
    2×0.421733403333345-π/2
    0.843466806666691-1.57079632675     		φ = -0.72732952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69719427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.946289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72732952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.672912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10010 KachelY 10282 0.69719427 -0.72732952 39.946289 -41.672912
    Oben rechts KachelX + 1 10011 KachelY 10282 0.69757776 -0.72732952 39.968262 -41.672912
    Unten links KachelX 10010 KachelY + 1 10283 0.69719427 -0.72761594 39.946289 -41.689322
    Unten rechts KachelX + 1 10011 KachelY + 1 10283 0.69757776 -0.72761594 39.968262 -41.689322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72732952--0.72761594) × R
    0.000286420000000009 × 6371000     		dl = 1824.78182000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72732952--0.72761594) × R
    0.000286420000000009 × 6371000     		dr = 1824.78182000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69719427-0.69757776) × cos(-0.72732952) × R
    0.000383490000000042 × 0.746952605160643 × 6371000     		do = 1824.96565235771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69719427-0.69757776) × cos(-0.72761594) × R
    0.000383490000000042 × 0.746762140372289 × 6371000     		du = 1824.50030596983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72732952)-sin(-0.72761594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746952605160643-0.746762140372289)×R²
    abs(0.69757776-0.69719427)×0.000190464788353828×R²
    0.000383490000000042×0.000190464788353828×6371000²
    0.000383490000000042×0.000190464788353828×40589641000000     		ar = 3329739.5894962m²