Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1001 / 430
↖ ↑ ↗
← N 71.635993°
W  4.042969°		 ← 6 158.04 m → N 71.635993°
W  3.867187°		 →
↑
6 167 m
↓
↑
6 167 m
↓
N 71.580532°
W  4.042969°		 ← 6 175.99 m →
38 031 972 m²		 N 71.580532°
W  3.867187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.489013671875 y=0.210205078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.489013671875 × 211)
    floor (0.489013671875 × 2048)
    floor (1001.5)     		tx = 1001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210205078125 × 211)
    floor (0.210205078125 × 2048)
    floor (430.5)     		ty = 430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1001 / 430 ti = "11/1001/430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1001/430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1001 ÷ 211
    1001 ÷ 2048     		x = 0.48876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 430 ÷ 211
    430 ÷ 2048     		y = 0.2099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48876953125 × 2 - 1) × π
    -0.0224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.07056312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2099609375 × 2 - 1) × π
    0.580078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.82236917595605
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07056312} λ = -0.07056312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82236917595605))-π/2
    2×atan(6.18649800351879)-π/2
    2×1.4105401327637-π/2
    2.8210802655274-1.57079632675     		φ = 1.25028394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07056312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.042969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25028394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.635993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1001 KachelY 430 -0.07056312 1.25028394 -4.042969 71.635993
    Oben rechts KachelX + 1 1002 KachelY 430 -0.06749515 1.25028394 -3.867187 71.635993
    Unten links KachelX 1001 KachelY + 1 431 -0.07056312 1.24931596 -4.042969 71.580532
    Unten rechts KachelX + 1 1002 KachelY + 1 431 -0.06749515 1.24931596 -3.867187 71.580532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25028394-1.24931596) × R
    0.000967980000000201 × 6371000     		dl = 6167.00058000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25028394-1.24931596) × R
    0.000967980000000201 × 6371000     		dr = 6167.00058000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07056312--0.06749515) × cos(1.25028394) × R
    0.00306796999999999 × 0.315052894995122 × 6371000     		do = 6158.03550157487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07056312--0.06749515) × cos(1.24931596) × R
    0.00306796999999999 × 0.315971432012315 × 6371000     		du = 6175.98925997939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25028394)-sin(1.24931596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315052894995122-0.315971432012315)×R²
    abs(-0.06749515--0.07056312)×0.000918537017193244×R²
    0.00306796999999999×0.000918537017193244×6371000²
    0.00306796999999999×0.000918537017193244×40589641000000     		ar = 38031971.8987412m²