Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100099 / 100610
↖ ↑ ↗
← S 68.912981°
E 94.930115°		 ← 109.89 m → S 68.912981°
E 94.932861°		 →
↑
109.90 m
↓
↑
109.90 m
↓
S 68.913970°
E 94.930115°		 ← 109.88 m →
12 076 m²		 S 68.913970°
E 94.932861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763698577880859 y=0.767597198486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763698577880859 × 217)
    floor (0.763698577880859 × 131072)
    floor (100099.5)     		tx = 100099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767597198486328 × 217)
    floor (0.767597198486328 × 131072)
    floor (100610.5)     		ty = 100610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100099 / 100610 ti = "17/100099/100610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100099/100610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100099 ÷ 217
    100099 ÷ 131072     		x = 0.763694763183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100610 ÷ 217
    100610 ÷ 131072     		y = 0.767593383789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763694763183594 × 2 - 1) × π
    0.527389526367188 × 3.1415926535     		Λ = 1.65684306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767593383789062 × 2 - 1) × π
    -0.535186767578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.68133881727385
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65684306} λ = 1.65684306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68133881727385))-π/2
    2×atan(0.186124622297687)-π/2
    2×0.184018952930042-π/2
    0.368037905860084-1.57079632675     		φ = -1.20275842
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65684306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.930115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20275842 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.912981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100099 KachelY 100610 1.65684306 -1.20275842 94.930115 -68.912981
    Oben rechts KachelX + 1 100100 KachelY 100610 1.65689100 -1.20275842 94.932861 -68.912981
    Unten links KachelX 100099 KachelY + 1 100611 1.65684306 -1.20277567 94.930115 -68.913970
    Unten rechts KachelX + 1 100100 KachelY + 1 100611 1.65689100 -1.20277567 94.932861 -68.913970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20275842--1.20277567) × R
    1.72499999999687e-05 × 6371000     		dl = 109.8997499998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20275842--1.20277567) × R
    1.72499999999687e-05 × 6371000     		dr = 109.8997499998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65684306-1.65689100) × cos(-1.20275842) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.359785423913884 × 6371000     		do = 109.88772934004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65684306-1.65689100) × cos(-1.20277567) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.359769329005334 × 6371000     		du = 109.882813540685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20275842)-sin(-1.20277567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359785423913884-0.359769329005334)×R²
    abs(1.65689100-1.65684306)×1.6094908549702e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6094908549702e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6094908549702e-05×40589641000000     		ar = 12076.3638603422m²