Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100098 / 101633
↖ ↑ ↗
← S 69.901061°
E 94.927368°		 ← 104.96 m → S 69.901061°
E 94.930115°		 →
↑
104.99 m
↓
↑
104.99 m
↓
S 69.902006°
E 94.927368°		 ← 104.95 m →
11 020 m²		 S 69.902006°
E 94.930115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763690948486328 y=0.775402069091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763690948486328 × 217)
    floor (0.763690948486328 × 131072)
    floor (100098.5)     		tx = 100098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775402069091797 × 217)
    floor (0.775402069091797 × 131072)
    floor (101633.5)     		ty = 101633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100098 / 101633 ti = "17/100098/101633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100098/101633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100098 ÷ 217
    100098 ÷ 131072     		x = 0.763687133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101633 ÷ 217
    101633 ÷ 131072     		y = 0.775398254394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763687133789062 × 2 - 1) × π
    0.527374267578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65679512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775398254394531 × 2 - 1) × π
    -0.550796508789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.73037826558517
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65679512} λ = 1.65679512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73037826558517))-π/2
    2×atan(0.177217362060557)-π/2
    2×0.175396326588922-π/2
    0.350792653177844-1.57079632675     		φ = -1.22000367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65679512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.927368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22000367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.901061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100098 KachelY 101633 1.65679512 -1.22000367 94.927368 -69.901061
    Oben rechts KachelX + 1 100099 KachelY 101633 1.65684306 -1.22000367 94.930115 -69.901061
    Unten links KachelX 100098 KachelY + 1 101634 1.65679512 -1.22002015 94.927368 -69.902006
    Unten rechts KachelX + 1 100099 KachelY + 1 101634 1.65684306 -1.22002015 94.930115 -69.902006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22000367--1.22002015) × R
    1.64799999999854e-05 × 6371000     		dl = 104.994079999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22000367--1.22002015) × R
    1.64799999999854e-05 × 6371000     		dr = 104.994079999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65679512-1.65684306) × cos(-1.22000367) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343642299819095 × 6371000     		do = 104.95720371748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65679512-1.65684306) × cos(-1.22002015) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343626823394254 × 6371000     		du = 104.952476818971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22000367)-sin(-1.22002015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343642299819095-0.343626823394254)×R²
    abs(1.65684306-1.65679512)×1.54764248405659e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54764248405659e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54764248405659e-05×40589641000000     		ar = 11019.6368956023m²