Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100097 / 97023
↖ ↑ ↗
← S 65.070973°
E 94.924622°		 ← 128.71 m → S 65.070973°
E 94.927368°		 →
↑
128.69 m
↓
↑
128.69 m
↓
S 65.072130°
E 94.924622°		 ← 128.70 m →
16 564 m²		 S 65.072130°
E 94.927368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763683319091797 y=0.740230560302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763683319091797 × 217)
    floor (0.763683319091797 × 131072)
    floor (100097.5)     		tx = 100097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740230560302734 × 217)
    floor (0.740230560302734 × 131072)
    floor (97023.5)     		ty = 97023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100097 / 97023 ti = "17/100097/97023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100097/97023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100097 ÷ 217
    100097 ÷ 131072     		x = 0.763679504394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97023 ÷ 217
    97023 ÷ 131072     		y = 0.740226745605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763679504394531 × 2 - 1) × π
    0.527359008789062 × 3.1415926535     		Λ = 1.65674719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740226745605469 × 2 - 1) × π
    -0.480453491210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.50938915833671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65674719} λ = 1.65674719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50938915833671))-π/2
    2×atan(0.221044960199944)-π/2
    2×0.217546805135757-π/2
    0.435093610271515-1.57079632675     		φ = -1.13570272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65674719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.924622°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13570272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.070973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100097 KachelY 97023 1.65674719 -1.13570272 94.924622 -65.070973
    Oben rechts KachelX + 1 100098 KachelY 97023 1.65679512 -1.13570272 94.927368 -65.070973
    Unten links KachelX 100097 KachelY + 1 97024 1.65674719 -1.13572292 94.924622 -65.072130
    Unten rechts KachelX + 1 100098 KachelY + 1 97024 1.65679512 -1.13572292 94.927368 -65.072130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13570272--1.13572292) × R
    2.02000000000258e-05 × 6371000     		dl = 128.694200000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13570272--1.13572292) × R
    2.02000000000258e-05 × 6371000     		dr = 128.694200000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65674719-1.65679512) × cos(-1.13570272) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.421495288718324 × 6371000     		do = 128.708656998542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65674719-1.65679512) × cos(-1.13572292) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.421476970654384 × 6371000     		du = 128.703063357352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13570272)-sin(-1.13572292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421495288718324-0.421476970654384)×R²
    abs(1.65679512-1.65674719)×1.83180639395375e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.83180639395375e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.83180639395375e-05×40589641000000     		ar = 16563.6977114461m²