Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100081 / 97779
↖ ↑ ↗
← S 65.931914°
E 94.880676°		 ← 124.53 m → S 65.931914°
E 94.883423°		 →
↑
124.55 m
↓
↑
124.55 m
↓
S 65.933035°
E 94.880676°		 ← 124.53 m →
15 511 m²		 S 65.933035°
E 94.883423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763561248779297 y=0.745998382568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763561248779297 × 217)
    floor (0.763561248779297 × 131072)
    floor (100081.5)     		tx = 100081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745998382568359 × 217)
    floor (0.745998382568359 × 131072)
    floor (97779.5)     		ty = 97779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100081 / 97779 ti = "17/100081/97779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100081/97779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100081 ÷ 217
    100081 ÷ 131072     		x = 0.763557434082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97779 ÷ 217
    97779 ÷ 131072     		y = 0.745994567871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763557434082031 × 2 - 1) × π
    0.527114868164062 × 3.1415926535     		Λ = 1.65598020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745994567871094 × 2 - 1) × π
    -0.491989135742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.54562945444947
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65598020} λ = 1.65598020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54562945444947))-π/2
    2×atan(0.213177643366042)-π/2
    2×0.210033669151288-π/2
    0.420067338302575-1.57079632675     		φ = -1.15072899
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65598020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.880676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15072899 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.931914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100081 KachelY 97779 1.65598020 -1.15072899 94.880676 -65.931914
    Oben rechts KachelX + 1 100082 KachelY 97779 1.65602813 -1.15072899 94.883423 -65.931914
    Unten links KachelX 100081 KachelY + 1 97780 1.65598020 -1.15074854 94.880676 -65.933035
    Unten rechts KachelX + 1 100082 KachelY + 1 97780 1.65602813 -1.15074854 94.883423 -65.933035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15072899--1.15074854) × R
    1.95499999999793e-05 × 6371000     		dl = 124.553049999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15072899--1.15074854) × R
    1.95499999999793e-05 × 6371000     		dr = 124.553049999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65598020-1.65602813) × cos(-1.15072899) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.407821936617777 × 6371000     		do = 124.533334444212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65598020-1.65602813) × cos(-1.15074854) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.40780408618789 × 6371000     		du = 124.527883600705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15072899)-sin(-1.15074854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407821936617777-0.40780408618789)×R²
    abs(1.65602813-1.65598020)×1.78504298868898e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.78504298868898e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.78504298868898e-05×40589641000000     		ar = 15510.667172525m²