Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100080 / 101621
↖ ↑ ↗
← S 69.889732°
E 94.877930°		 ← 105.01 m → S 69.889732°
E 94.880676°		 →
↑
104.99 m
↓
↑
104.99 m
↓
S 69.890676°
E 94.877930°		 ← 105.01 m →
11 026 m²		 S 69.890676°
E 94.880676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763553619384766 y=0.775310516357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763553619384766 × 217)
    floor (0.763553619384766 × 131072)
    floor (100080.5)     		tx = 100080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775310516357422 × 217)
    floor (0.775310516357422 × 131072)
    floor (101621.5)     		ty = 101621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100080 / 101621 ti = "17/100080/101621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100080/101621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100080 ÷ 217
    100080 ÷ 131072     		x = 0.7635498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101621 ÷ 217
    101621 ÷ 131072     		y = 0.775306701660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7635498046875 × 2 - 1) × π
    0.527099609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65593226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775306701660156 × 2 - 1) × π
    -0.550613403320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.72980302278973
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65593226} λ = 1.65593226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72980302278973))-π/2
    2×atan(0.177319334397924)-π/2
    2×0.175495192167616-π/2
    0.350990384335233-1.57079632675     		φ = -1.21980594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65593226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.877930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21980594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.889732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100080 KachelY 101621 1.65593226 -1.21980594 94.877930 -69.889732
    Oben rechts KachelX + 1 100081 KachelY 101621 1.65598020 -1.21980594 94.880676 -69.889732
    Unten links KachelX 100080 KachelY + 1 101622 1.65593226 -1.21982242 94.877930 -69.890676
    Unten rechts KachelX + 1 100081 KachelY + 1 101622 1.65598020 -1.21982242 94.880676 -69.890676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21980594--1.21982242) × R
    1.64799999999854e-05 × 6371000     		dl = 104.994079999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21980594--1.21982242) × R
    1.64799999999854e-05 × 6371000     		dr = 104.994079999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65593226-1.65598020) × cos(-1.21980594) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343827981465264 × 6371000     		do = 105.013915671666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65593226-1.65598020) × cos(-1.21982242) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.34381250616049 × 6371000     		du = 105.009189115253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21980594)-sin(-1.21982242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343827981465264-0.34381250616049)×R²
    abs(1.65598020-1.65593226)×1.54753047736933e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54753047736933e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54753047736933e-05×40589641000000     		ar = 11025.5913332642m²