Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100078 / 101619
↖ ↑ ↗
← S 69.887844°
E 94.872437°		 ← 105 m → S 69.887844°
E 94.875183°		 →
↑
104.99 m
↓
↑
104.99 m
↓
S 69.888788°
E 94.872437°		 ← 105 m →
11 024 m²		 S 69.888788°
E 94.875183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763538360595703 y=0.775295257568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763538360595703 × 217)
    floor (0.763538360595703 × 131072)
    floor (100078.5)     		tx = 100078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775295257568359 × 217)
    floor (0.775295257568359 × 131072)
    floor (101619.5)     		ty = 101619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100078 / 101619 ti = "17/100078/101619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100078/101619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100078 ÷ 217
    100078 ÷ 131072     		x = 0.763534545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101619 ÷ 217
    101619 ÷ 131072     		y = 0.775291442871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763534545898438 × 2 - 1) × π
    0.527069091796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65583639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775291442871094 × 2 - 1) × π
    -0.550582885742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.72970714899049
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65583639} λ = 1.65583639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72970714899049))-π/2
    2×atan(0.177336335491158)-π/2
    2×0.175511674956887-π/2
    0.351023349913774-1.57079632675     		φ = -1.21977298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65583639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.872437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21977298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.887844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100078 KachelY 101619 1.65583639 -1.21977298 94.872437 -69.887844
    Oben rechts KachelX + 1 100079 KachelY 101619 1.65588432 -1.21977298 94.875183 -69.887844
    Unten links KachelX 100078 KachelY + 1 101620 1.65583639 -1.21978946 94.872437 -69.888788
    Unten rechts KachelX + 1 100079 KachelY + 1 101620 1.65588432 -1.21978946 94.875183 -69.888788
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21977298--1.21978946) × R
    1.64800000002074e-05 × 6371000     		dl = 104.994080001322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21977298--1.21978946) × R
    1.64800000002074e-05 × 6371000     		dr = 104.994080001322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65583639-1.65588432) × cos(-1.21977298) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.343858931794666 × 6371000     		do = 105.001461446515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65583639-1.65588432) × cos(-1.21978946) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.343843456676657 × 6371000     		du = 104.996735933065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21977298)-sin(-1.21978946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343858931794666-0.343843456676657)×R²
    abs(1.65588432-1.65583639)×1.5475118008923e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.5475118008923e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.5475118008923e-05×40589641000000     		ar = 11024.2837681522m²