Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100077 / 96741
↖ ↑ ↗
← S 64.742502°
E 94.869690°		 ← 130.32 m → S 64.742502°
E 94.872437°		 →
↑
130.29 m
↓
↑
130.29 m
↓
S 64.743673°
E 94.869690°		 ← 130.32 m →
16 979 m²		 S 64.743673°
E 94.872437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763530731201172 y=0.738079071044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763530731201172 × 217)
    floor (0.763530731201172 × 131072)
    floor (100077.5)     		tx = 100077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738079071044922 × 217)
    floor (0.738079071044922 × 131072)
    floor (96741.5)     		ty = 96741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100077 / 96741 ti = "17/100077/96741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100077/96741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100077 ÷ 217
    100077 ÷ 131072     		x = 0.763526916503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96741 ÷ 217
    96741 ÷ 131072     		y = 0.738075256347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763526916503906 × 2 - 1) × π
    0.527053833007812 × 3.1415926535     		Λ = 1.65578845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738075256347656 × 2 - 1) × π
    -0.476150512695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.49587095264385
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65578845} λ = 1.65578845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49587095264385))-π/2
    2×atan(0.224053379843522)-π/2
    2×0.220413253204118-π/2
    0.440826506408236-1.57079632675     		φ = -1.12996982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65578845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.869690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12996982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.742502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100077 KachelY 96741 1.65578845 -1.12996982 94.869690 -64.742502
    Oben rechts KachelX + 1 100078 KachelY 96741 1.65583639 -1.12996982 94.872437 -64.742502
    Unten links KachelX 100077 KachelY + 1 96742 1.65578845 -1.12999027 94.869690 -64.743673
    Unten rechts KachelX + 1 100078 KachelY + 1 96742 1.65583639 -1.12999027 94.872437 -64.743673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12996982--1.12999027) × R
    2.04500000000607e-05 × 6371000     		dl = 130.286950000387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12996982--1.12999027) × R
    2.04500000000607e-05 × 6371000     		dr = 130.286950000387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65578845-1.65583639) × cos(-1.12996982) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.426687102895721 × 6371000     		do = 130.321224150296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65578845-1.65583639) × cos(-1.12999027) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.426668607840563 × 6371000     		du = 130.315575284388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12996982)-sin(-1.12999027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426687102895721-0.426668607840563)×R²
    abs(1.65583639-1.65578845)×1.8495055157608e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8495055157608e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8495055157608e-05×40589641000000     		ar = 16978.786828674m²