Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100074 / 99850
↖ ↑ ↗
← S 68.149077°
E 94.861450°		 ← 113.68 m → S 68.149077°
E 94.864197°		 →
↑
113.66 m
↓
↑
113.66 m
↓
S 68.150099°
E 94.861450°		 ← 113.67 m →
12 920 m²		 S 68.150099°
E 94.864197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763507843017578 y=0.761798858642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763507843017578 × 217)
    floor (0.763507843017578 × 131072)
    floor (100074.5)     		tx = 100074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761798858642578 × 217)
    floor (0.761798858642578 × 131072)
    floor (99850.5)     		ty = 99850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100074 / 99850 ti = "17/100074/99850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100074/99850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100074 ÷ 217
    100074 ÷ 131072     		x = 0.763504028320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99850 ÷ 217
    99850 ÷ 131072     		y = 0.761795043945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763504028320312 × 2 - 1) × π
    0.527008056640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65564464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761795043945312 × 2 - 1) × π
    -0.523590087890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.64490677356261
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65564464} λ = 1.65564464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64490677356261))-π/2
    2×atan(0.193030557506142)-π/2
    2×0.190685279783154-π/2
    0.381370559566308-1.57079632675     		φ = -1.18942577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65564464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.861450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18942577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.149077°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100074 KachelY 99850 1.65564464 -1.18942577 94.861450 -68.149077
    Oben rechts KachelX + 1 100075 KachelY 99850 1.65569258 -1.18942577 94.864197 -68.149077
    Unten links KachelX 100074 KachelY + 1 99851 1.65564464 -1.18944361 94.861450 -68.150099
    Unten rechts KachelX + 1 100075 KachelY + 1 99851 1.65569258 -1.18944361 94.864197 -68.150099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18942577--1.18944361) × R
    1.78400000001577e-05 × 6371000     		dl = 113.658640001005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18942577--1.18944361) × R
    1.78400000001577e-05 × 6371000     		dr = 113.658640001005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65564464-1.65569258) × cos(-1.18942577) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372192908267721 × 6371000     		do = 113.677294430346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65564464-1.65569258) × cos(-1.18944361) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372176349916229 × 6371000     		du = 113.672237083589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18942577)-sin(-1.18944361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372192908267721-0.372176349916229)×R²
    abs(1.65569258-1.65564464)×1.65583514911694e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65583514911694e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65583514911694e-05×40589641000000     		ar = 12920.1192787105m²