Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100072 / 101874
↖ ↑ ↗
← S 70.127297°
E 94.855957°		 ← 103.80 m → S 70.127297°
E 94.858703°		 →
↑
103.85 m
↓
↑
103.85 m
↓
S 70.128231°
E 94.855957°		 ← 103.80 m →
10 779 m²		 S 70.128231°
E 94.858703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763492584228516 y=0.777240753173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763492584228516 × 217)
    floor (0.763492584228516 × 131072)
    floor (100072.5)     		tx = 100072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777240753173828 × 217)
    floor (0.777240753173828 × 131072)
    floor (101874.5)     		ty = 101874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100072 / 101874 ti = "17/100072/101874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100072/101874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100072 ÷ 217
    100072 ÷ 131072     		x = 0.76348876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101874 ÷ 217
    101874 ÷ 131072     		y = 0.777236938476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76348876953125 × 2 - 1) × π
    0.5269775390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65554877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777236938476562 × 2 - 1) × π
    -0.554473876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.7419310583936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65554877} λ = 1.65554877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7419310583936))-π/2
    2×atan(0.175181787520192)-π/2
    2×0.173422046714007-π/2
    0.346844093428013-1.57079632675     		φ = -1.22395223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65554877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.855957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22395223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.127297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100072 KachelY 101874 1.65554877 -1.22395223 94.855957 -70.127297
    Oben rechts KachelX + 1 100073 KachelY 101874 1.65559670 -1.22395223 94.858703 -70.127297
    Unten links KachelX 100072 KachelY + 1 101875 1.65554877 -1.22396853 94.855957 -70.128231
    Unten rechts KachelX + 1 100073 KachelY + 1 101875 1.65559670 -1.22396853 94.858703 -70.128231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22395223--1.22396853) × R
    1.62999999999691e-05 × 6371000     		dl = 103.847299999803m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22395223--1.22396853) × R
    1.62999999999691e-05 × 6371000     		dr = 103.847299999803m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65554877-1.65559670) × cos(-1.22395223) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.339931535438714 × 6371000     		do = 103.802183722646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65554877-1.65559670) × cos(-1.22396853) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.339916206055535 × 6371000     		du = 103.79750271108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22395223)-sin(-1.22396853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339931535438714-0.339916206055535)×R²
    abs(1.65559670-1.65554877)×1.53293831794965e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.53293831794965e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.53293831794965e-05×40589641000000     		ar = 10779.3334587595m²