Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100072 / 100584
↖ ↑ ↗
← S 68.887274°
E 94.855957°		 ← 109.99 m → S 68.887274°
E 94.858703°		 →
↑
109.96 m
↓
↑
109.96 m
↓
S 68.888263°
E 94.855957°		 ← 109.99 m →
12 095 m²		 S 68.888263°
E 94.858703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763492584228516 y=0.767398834228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763492584228516 × 217)
    floor (0.763492584228516 × 131072)
    floor (100072.5)     		tx = 100072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767398834228516 × 217)
    floor (0.767398834228516 × 131072)
    floor (100584.5)     		ty = 100584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100072 / 100584 ti = "17/100072/100584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100072/100584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100072 ÷ 217
    100072 ÷ 131072     		x = 0.76348876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100584 ÷ 217
    100584 ÷ 131072     		y = 0.76739501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76348876953125 × 2 - 1) × π
    0.5269775390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65554877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76739501953125 × 2 - 1) × π
    -0.5347900390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.68009245788373
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65554877} λ = 1.65554877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68009245788373))-π/2
    2×atan(0.186356745092584)-π/2
    2×0.18424329431042-π/2
    0.36848658862084-1.57079632675     		φ = -1.20230974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65554877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.855957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20230974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.887274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100072 KachelY 100584 1.65554877 -1.20230974 94.855957 -68.887274
    Oben rechts KachelX + 1 100073 KachelY 100584 1.65559670 -1.20230974 94.858703 -68.887274
    Unten links KachelX 100072 KachelY + 1 100585 1.65554877 -1.20232700 94.855957 -68.888263
    Unten rechts KachelX + 1 100073 KachelY + 1 100585 1.65559670 -1.20232700 94.858703 -68.888263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20230974--1.20232700) × R
    1.72599999999079e-05 × 6371000     		dl = 109.963459999413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20230974--1.20232700) × R
    1.72599999999079e-05 × 6371000     		dr = 109.963459999413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65554877-1.65559670) × cos(-1.20230974) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.360204021861827 × 6371000     		do = 109.992631329959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65554877-1.65559670) × cos(-1.20232700) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.360187920410679 × 6371000     		du = 109.987714558151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20230974)-sin(-1.20232700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360204021861827-0.360187920410679)×R²
    abs(1.65559670-1.65554877)×1.61014511475543e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.61014511475543e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.61014511475543e-05×40589641000000     		ar = 12094.8999831927m²