Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100071 / 96989
↖ ↑ ↗
← S 65.031582°
E 94.853211°		 ← 128.93 m → S 65.031582°
E 94.855957°		 →
↑
128.95 m
↓
↑
128.95 m
↓
S 65.032742°
E 94.853211°		 ← 128.92 m →
16 625 m²		 S 65.032742°
E 94.855957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763484954833984 y=0.739971160888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763484954833984 × 217)
    floor (0.763484954833984 × 131072)
    floor (100071.5)     		tx = 100071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739971160888672 × 217)
    floor (0.739971160888672 × 131072)
    floor (96989.5)     		ty = 96989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100071 / 96989 ti = "17/100071/96989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100071/96989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100071 ÷ 217
    100071 ÷ 131072     		x = 0.763481140136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96989 ÷ 217
    96989 ÷ 131072     		y = 0.739967346191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763481140136719 × 2 - 1) × π
    0.526962280273438 × 3.1415926535     		Λ = 1.65550083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739967346191406 × 2 - 1) × π
    -0.479934692382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.50775930374963
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65550083} λ = 1.65550083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50775930374963))-π/2
    2×atan(0.221405525096635)-π/2
    2×0.217890547089227-π/2
    0.435781094178453-1.57079632675     		φ = -1.13501523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65550083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.853211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13501523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.031582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100071 KachelY 96989 1.65550083 -1.13501523 94.853211 -65.031582
    Oben rechts KachelX + 1 100072 KachelY 96989 1.65554877 -1.13501523 94.855957 -65.031582
    Unten links KachelX 100071 KachelY + 1 96990 1.65550083 -1.13503547 94.853211 -65.032742
    Unten rechts KachelX + 1 100072 KachelY + 1 96990 1.65554877 -1.13503547 94.855957 -65.032742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13501523--1.13503547) × R
    2.02400000000047e-05 × 6371000     		dl = 128.94904000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13501523--1.13503547) × R
    2.02400000000047e-05 × 6371000     		dr = 128.94904000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65550083-1.65554877) × cos(-1.13501523) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.422118626024239 × 6371000     		do = 128.925893721152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65550083-1.65554877) × cos(-1.13503547) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.422100277555966 × 6371000     		du = 128.920289626652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13501523)-sin(-1.13503547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422118626024239-0.422100277555966)×R²
    abs(1.65554877-1.65550083)×1.83484682730883e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83484682730883e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83484682730883e-05×40589641000000     		ar = 16624.5089057955m²