Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10007 / 10461
↖ ↑ ↗
← S 44.543505°
E 39.880371°		 ← 1 741.37 m → S 44.543505°
E 39.902344°		 →
↑
1 741.07 m
↓
↑
1 741.07 m
↓
S 44.559163°
E 39.880371°		 ← 1 740.90 m →
3 031 432 m²		 S 44.559163°
E 39.902344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610809326171875 y=0.638519287109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610809326171875 × 214)
    floor (0.610809326171875 × 16384)
    floor (10007.5)     		tx = 10007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638519287109375 × 214)
    floor (0.638519287109375 × 16384)
    floor (10461.5)     		ty = 10461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10007 / 10461 ti = "14/10007/10461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10007/10461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10007 ÷ 214
    10007 ÷ 16384     		x = 0.61077880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10461 ÷ 214
    10461 ÷ 16384     		y = 0.63848876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61077880859375 × 2 - 1) × π
    0.2215576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69604378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63848876953125 × 2 - 1) × π
    -0.2769775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.870150601903259
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69604378} λ = 0.69604378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.870150601903259))-π/2
    2×atan(0.418888459097816)-π/2
    2×0.39668275023144-π/2
    0.793365500462881-1.57079632675     		φ = -0.77743083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69604378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.880371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77743083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.543505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10007 KachelY 10461 0.69604378 -0.77743083 39.880371 -44.543505
    Oben rechts KachelX + 1 10008 KachelY 10461 0.69642728 -0.77743083 39.902344 -44.543505
    Unten links KachelX 10007 KachelY + 1 10462 0.69604378 -0.77770411 39.880371 -44.559163
    Unten rechts KachelX + 1 10008 KachelY + 1 10462 0.69642728 -0.77770411 39.902344 -44.559163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77743083--0.77770411) × R
    0.000273279999999931 × 6371000     		dl = 1741.06687999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77743083--0.77770411) × R
    0.000273279999999931 × 6371000     		dr = 1741.06687999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69604378-0.69642728) × cos(-0.77743083) × R
    0.000383499999999981 × 0.712718034171067 × 6371000     		do = 1741.36864945235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69604378-0.69642728) × cos(-0.77770411) × R
    0.000383499999999981 × 0.7125263151283 × 6371000     		du = 1740.90022643711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77743083)-sin(-0.77770411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712718034171067-0.7125263151283)×R²
    abs(0.69642728-0.69604378)×0.000191719042766714×R²
    0.000383499999999981×0.000191719042766714×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191719042766714×40589641000000     		ar = 3031431.52239886m²