Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100069 / 100565
↖ ↑ ↗
← S 68.868468°
E 94.847717°		 ← 110.11 m → S 68.868468°
E 94.850464°		 →
↑
110.15 m
↓
↑
110.15 m
↓
S 68.869459°
E 94.847717°		 ← 110.10 m →
12 129 m²		 S 68.869459°
E 94.850464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763469696044922 y=0.767253875732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763469696044922 × 217)
    floor (0.763469696044922 × 131072)
    floor (100069.5)     		tx = 100069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767253875732422 × 217)
    floor (0.767253875732422 × 131072)
    floor (100565.5)     		ty = 100565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100069 / 100565 ti = "17/100069/100565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100069/100565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100069 ÷ 217
    100069 ÷ 131072     		x = 0.763465881347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100565 ÷ 217
    100565 ÷ 131072     		y = 0.767250061035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763465881347656 × 2 - 1) × π
    0.526931762695312 × 3.1415926535     		Λ = 1.65540495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767250061035156 × 2 - 1) × π
    -0.534500122070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.67918165679095
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65540495} λ = 1.65540495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67918165679095))-π/2
    2×atan(0.186526556340057)-π/2
    2×0.184407401124429-π/2
    0.368814802248857-1.57079632675     		φ = -1.20198152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65540495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.847717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20198152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.868468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100069 KachelY 100565 1.65540495 -1.20198152 94.847717 -68.868468
    Oben rechts KachelX + 1 100070 KachelY 100565 1.65545289 -1.20198152 94.850464 -68.868468
    Unten links KachelX 100069 KachelY + 1 100566 1.65540495 -1.20199881 94.847717 -68.869459
    Unten rechts KachelX + 1 100070 KachelY + 1 100566 1.65545289 -1.20199881 94.850464 -68.869459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20198152--1.20199881) × R
    1.72900000001697e-05 × 6371000     		dl = 110.154590001081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20198152--1.20199881) × R
    1.72900000001697e-05 × 6371000     		dr = 110.154590001081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65540495-1.65545289) × cos(-1.20198152) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360510190211228 × 6371000     		do = 110.109091622733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65540495-1.65545289) × cos(-1.20199881) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36049406281864 × 6371000     		du = 110.104165901917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20198152)-sin(-1.20199881))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360510190211228-0.36049406281864)×R²
    abs(1.65545289-1.65540495)×1.61273925876615e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61273925876615e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61273925876615e-05×40589641000000     		ar = 12128.7505479301m²