Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100068 / 101877
↖ ↑ ↗
← S 70.130098°
E 94.844971°		 ← 103.79 m → S 70.130098°
E 94.847717°		 →
↑
103.78 m
↓
↑
103.78 m
↓
S 70.131032°
E 94.844971°		 ← 103.78 m →
10 771 m²		 S 70.131032°
E 94.847717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763462066650391 y=0.777263641357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763462066650391 × 217)
    floor (0.763462066650391 × 131072)
    floor (100068.5)     		tx = 100068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777263641357422 × 217)
    floor (0.777263641357422 × 131072)
    floor (101877.5)     		ty = 101877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100068 / 101877 ti = "17/100068/101877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100068/101877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100068 ÷ 217
    100068 ÷ 131072     		x = 0.763458251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101877 ÷ 217
    101877 ÷ 131072     		y = 0.777259826660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763458251953125 × 2 - 1) × π
    0.52691650390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65535702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777259826660156 × 2 - 1) × π
    -0.554519653320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.74207486909246
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65535702} λ = 1.65535702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74207486909246))-π/2
    2×atan(0.175156596316327)-π/2
    2×0.173397605471243-π/2
    0.346795210942486-1.57079632675     		φ = -1.22400112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65535702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.844971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22400112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.130098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100068 KachelY 101877 1.65535702 -1.22400112 94.844971 -70.130098
    Oben rechts KachelX + 1 100069 KachelY 101877 1.65540495 -1.22400112 94.847717 -70.130098
    Unten links KachelX 100068 KachelY + 1 101878 1.65535702 -1.22401741 94.844971 -70.131032
    Unten rechts KachelX + 1 100069 KachelY + 1 101878 1.65540495 -1.22401741 94.847717 -70.131032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22400112--1.22401741) × R
    1.62900000000299e-05 × 6371000     		dl = 103.78359000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22400112--1.22401741) × R
    1.62900000000299e-05 × 6371000     		dr = 103.78359000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65535702-1.65540495) × cos(-1.22400112) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.339885556422911 × 6371000     		do = 103.788143477043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65535702-1.65540495) × cos(-1.22401741) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.339870236173585 × 6371000     		du = 103.783465254609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22400112)-sin(-1.22401741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339885556422911-0.339870236173585)×R²
    abs(1.65540495-1.65535702)×1.532024932549e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.532024932549e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.532024932549e-05×40589641000000     		ar = 10771.263368387m²