Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100067 / 101876
↖ ↑ ↗
← S 70.129164°
E 94.842224°		 ← 103.81 m → S 70.129164°
E 94.844971°		 →
↑
103.85 m
↓
↑
103.85 m
↓
S 70.130098°
E 94.842224°		 ← 103.81 m →
10 781 m²		 S 70.130098°
E 94.844971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763454437255859 y=0.777256011962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763454437255859 × 217)
    floor (0.763454437255859 × 131072)
    floor (100067.5)     		tx = 100067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777256011962891 × 217)
    floor (0.777256011962891 × 131072)
    floor (101876.5)     		ty = 101876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100067 / 101876 ti = "17/100067/101876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100067/101876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100067 ÷ 217
    100067 ÷ 131072     		x = 0.763450622558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101876 ÷ 217
    101876 ÷ 131072     		y = 0.777252197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763450622558594 × 2 - 1) × π
    0.526901245117188 × 3.1415926535     		Λ = 1.65530908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777252197265625 × 2 - 1) × π
    -0.55450439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.74202693219284
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65530908} λ = 1.65530908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74202693219284))-π/2
    2×atan(0.175164992981756)-π/2
    2×0.173405752184875-π/2
    0.346811504369749-1.57079632675     		φ = -1.22398482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65530908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.842224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22398482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.129164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100067 KachelY 101876 1.65530908 -1.22398482 94.842224 -70.129164
    Oben rechts KachelX + 1 100068 KachelY 101876 1.65535702 -1.22398482 94.844971 -70.129164
    Unten links KachelX 100067 KachelY + 1 101877 1.65530908 -1.22400112 94.842224 -70.130098
    Unten rechts KachelX + 1 100068 KachelY + 1 101877 1.65535702 -1.22400112 94.844971 -70.130098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22398482--1.22400112) × R
    1.62999999999691e-05 × 6371000     		dl = 103.847299999803m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22398482--1.22400112) × R
    1.62999999999691e-05 × 6371000     		dr = 103.847299999803m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65530908-1.65535702) × cos(-1.22398482) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339900885986655 × 6371000     		do = 103.814479629062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65530908-1.65535702) × cos(-1.22400112) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339885556422911 × 6371000     		du = 103.809797585711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22398482)-sin(-1.22400112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339900885986655-0.339885556422911)×R²
    abs(1.65535702-1.65530908)×1.53295637446704e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53295637446704e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53295637446704e-05×40589641000000     		ar = 10780.6103019801m²