Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100066 / 101875
↖ ↑ ↗
← S 70.128231°
E 94.839477°		 ← 103.82 m → S 70.128231°
E 94.842224°		 →
↑
103.78 m
↓
↑
103.78 m
↓
S 70.129164°
E 94.839477°		 ← 103.81 m →
10 774 m²		 S 70.129164°
E 94.842224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763446807861328 y=0.777248382568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763446807861328 × 217)
    floor (0.763446807861328 × 131072)
    floor (100066.5)     		tx = 100066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777248382568359 × 217)
    floor (0.777248382568359 × 131072)
    floor (101875.5)     		ty = 101875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100066 / 101875 ti = "17/100066/101875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100066/101875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100066 ÷ 217
    100066 ÷ 131072     		x = 0.763442993164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101875 ÷ 217
    101875 ÷ 131072     		y = 0.777244567871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763442993164062 × 2 - 1) × π
    0.526885986328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65526114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777244567871094 × 2 - 1) × π
    -0.554489135742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.74197899529322
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65526114} λ = 1.65526114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74197899529322))-π/2
    2×atan(0.175173390049705)-π/2
    2×0.173413899265791-π/2
    0.346827798531582-1.57079632675     		φ = -1.22396853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65526114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.839477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22396853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.128231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100066 KachelY 101875 1.65526114 -1.22396853 94.839477 -70.128231
    Oben rechts KachelX + 1 100067 KachelY 101875 1.65530908 -1.22396853 94.842224 -70.128231
    Unten links KachelX 100066 KachelY + 1 101876 1.65526114 -1.22398482 94.839477 -70.129164
    Unten rechts KachelX + 1 100067 KachelY + 1 101876 1.65530908 -1.22398482 94.842224 -70.129164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22396853--1.22398482) × R
    1.62900000000299e-05 × 6371000     		dl = 103.78359000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22396853--1.22398482) × R
    1.62900000000299e-05 × 6371000     		dr = 103.78359000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65526114-1.65530908) × cos(-1.22396853) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.339916206055535 × 6371000     		do = 103.819158772917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65526114-1.65530908) × cos(-1.22398482) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.339900885986655 × 6371000     		du = 103.814479629543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22396853)-sin(-1.22398482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339916206055535-0.339900885986655)×R²
    abs(1.65530908-1.65526114)×1.5320068879221e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.5320068879221e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.5320068879221e-05×40589641000000     		ar = 10774.4821992753m²