Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100062 / 96883
↖ ↑ ↗
← S 64.908404°
E 94.828491°		 ← 129.49 m → S 64.908404°
E 94.831238°		 →
↑
129.52 m
↓
↑
129.52 m
↓
S 64.909569°
E 94.828491°		 ← 129.49 m →
16 772 m²		 S 64.909569°
E 94.831238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763416290283203 y=0.739162445068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763416290283203 × 217)
    floor (0.763416290283203 × 131072)
    floor (100062.5)     		tx = 100062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739162445068359 × 217)
    floor (0.739162445068359 × 131072)
    floor (96883.5)     		ty = 96883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100062 / 96883 ti = "17/100062/96883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100062/96883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100062 ÷ 217
    100062 ÷ 131072     		x = 0.763412475585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96883 ÷ 217
    96883 ÷ 131072     		y = 0.739158630371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763412475585938 × 2 - 1) × π
    0.526824951171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65506940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739158630371094 × 2 - 1) × π
    -0.478317260742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.5026779923899
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65506940} λ = 1.65506940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5026779923899))-π/2
    2×atan(0.2225334186688)-π/2
    2×0.218965478231557-π/2
    0.437930956463115-1.57079632675     		φ = -1.13286537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65506940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.828491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13286537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.908404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100062 KachelY 96883 1.65506940 -1.13286537 94.828491 -64.908404
    Oben rechts KachelX + 1 100063 KachelY 96883 1.65511733 -1.13286537 94.831238 -64.908404
    Unten links KachelX 100062 KachelY + 1 96884 1.65506940 -1.13288570 94.828491 -64.909569
    Unten rechts KachelX + 1 100063 KachelY + 1 96884 1.65511733 -1.13288570 94.831238 -64.909569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13286537--1.13288570) × R
    2.03300000001239e-05 × 6371000     		dl = 129.522430000789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13286537--1.13288570) × R
    2.03300000001239e-05 × 6371000     		dr = 129.522430000789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65506940-1.65511733) × cos(-1.13286537) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.424066584410264 × 6371000     		do = 129.493833070764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65506940-1.65511733) × cos(-1.13288570) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.424048172844133 × 6371000     		du = 129.488210877555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13286537)-sin(-1.13288570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424066584410264-0.424048172844133)×R²
    abs(1.65511733-1.65506940)×1.8411566131471e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.8411566131471e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.8411566131471e-05×40589641000000     		ar = 16771.9918298532m²