Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100062 / 101726
↖ ↑ ↗
← S 69.988655°
E 94.828491°		 ← 104.50 m → S 69.988655°
E 94.831238°		 →
↑
104.55 m
↓
↑
104.55 m
↓
S 69.989595°
E 94.828491°		 ← 104.49 m →
10 925 m²		 S 69.989595°
E 94.831238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763416290283203 y=0.776111602783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763416290283203 × 217)
    floor (0.763416290283203 × 131072)
    floor (100062.5)     		tx = 100062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776111602783203 × 217)
    floor (0.776111602783203 × 131072)
    floor (101726.5)     		ty = 101726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100062 / 101726 ti = "17/100062/101726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100062/101726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100062 ÷ 217
    100062 ÷ 131072     		x = 0.763412475585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101726 ÷ 217
    101726 ÷ 131072     		y = 0.776107788085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763412475585938 × 2 - 1) × π
    0.526824951171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65506940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776107788085938 × 2 - 1) × π
    -0.552215576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.73483639724983
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65506940} λ = 1.65506940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73483639724983))-π/2
    2×atan(0.176429062205117)-π/2
    2×0.174631926833729-π/2
    0.349263853667458-1.57079632675     		φ = -1.22153247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65506940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.828491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22153247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.988655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100062 KachelY 101726 1.65506940 -1.22153247 94.828491 -69.988655
    Oben rechts KachelX + 1 100063 KachelY 101726 1.65511733 -1.22153247 94.831238 -69.988655
    Unten links KachelX 100062 KachelY + 1 101727 1.65506940 -1.22154888 94.828491 -69.989595
    Unten rechts KachelX + 1 100063 KachelY + 1 101727 1.65511733 -1.22154888 94.831238 -69.989595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22153247--1.22154888) × R
    1.64099999999667e-05 × 6371000     		dl = 104.548109999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22153247--1.22154888) × R
    1.64099999999667e-05 × 6371000     		dr = 104.548109999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65506940-1.65511733) × cos(-1.22153247) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.342206201768959 × 6371000     		do = 104.496780450823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65506940-1.65511733) × cos(-1.22154888) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.3421907824786 × 6371000     		du = 104.492071985018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22153247)-sin(-1.22154888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342206201768959-0.3421907824786)×R²
    abs(1.65511733-1.65506940)×1.54192903592532e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54192903592532e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54192903592532e-05×40589641000000     		ar = 10924.6947668302m²