Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100061 / 99813
↖ ↑ ↗
← S 68.111222°
E 94.825745°		 ← 113.86 m → S 68.111222°
E 94.828491°		 →
↑
113.85 m
↓
↑
113.85 m
↓
S 68.112246°
E 94.825745°		 ← 113.86 m →
12 963 m²		 S 68.112246°
E 94.828491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763408660888672 y=0.761516571044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763408660888672 × 217)
    floor (0.763408660888672 × 131072)
    floor (100061.5)     		tx = 100061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761516571044922 × 217)
    floor (0.761516571044922 × 131072)
    floor (99813.5)     		ty = 99813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100061 / 99813 ti = "17/100061/99813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100061/99813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100061 ÷ 217
    100061 ÷ 131072     		x = 0.763404846191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99813 ÷ 217
    99813 ÷ 131072     		y = 0.761512756347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763404846191406 × 2 - 1) × π
    0.526809692382812 × 3.1415926535     		Λ = 1.65502146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761512756347656 × 2 - 1) × π
    -0.523025512695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.64313310827666
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65502146} λ = 1.65502146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64313310827666))-π/2
    2×atan(0.193373232911016)-π/2
    2×0.191015624420143-π/2
    0.382031248840286-1.57079632675     		φ = -1.18876508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65502146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.825745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18876508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.111222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100061 KachelY 99813 1.65502146 -1.18876508 94.825745 -68.111222
    Oben rechts KachelX + 1 100062 KachelY 99813 1.65506940 -1.18876508 94.828491 -68.111222
    Unten links KachelX 100061 KachelY + 1 99814 1.65502146 -1.18878295 94.825745 -68.112246
    Unten rechts KachelX + 1 100062 KachelY + 1 99814 1.65506940 -1.18878295 94.828491 -68.112246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18876508--1.18878295) × R
    1.78699999999754e-05 × 6371000     		dl = 113.849769999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18876508--1.18878295) × R
    1.78699999999754e-05 × 6371000     		dr = 113.849769999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65502146-1.65506940) × cos(-1.18876508) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372806049978461 × 6371000     		do = 113.864563691074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65502146-1.65506940) × cos(-1.18878295) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372789468179938 × 6371000     		du = 113.859499182989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18876508)-sin(-1.18878295))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372806049978461-0.372789468179938)×R²
    abs(1.65506940-1.65502146)×1.65817985235406e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65817985235406e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65817985235406e-05×40589641000000     		ar = 12963.1660911102m²