Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100060 / 97004
↖ ↑ ↗
← S 65.048968°
E 94.822998°		 ← 128.84 m → S 65.048968°
E 94.825745°		 →
↑
128.82 m
↓
↑
128.82 m
↓
S 65.050126°
E 94.822998°		 ← 128.84 m →
16 597 m²		 S 65.050126°
E 94.825745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763401031494141 y=0.740085601806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763401031494141 × 217)
    floor (0.763401031494141 × 131072)
    floor (100060.5)     		tx = 100060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740085601806641 × 217)
    floor (0.740085601806641 × 131072)
    floor (97004.5)     		ty = 97004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100060 / 97004 ti = "17/100060/97004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100060/97004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100060 ÷ 217
    100060 ÷ 131072     		x = 0.763397216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97004 ÷ 217
    97004 ÷ 131072     		y = 0.740081787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763397216796875 × 2 - 1) × π
    0.52679443359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65497352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740081787109375 × 2 - 1) × π
    -0.48016357421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.50847835724393
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65497352} λ = 1.65497352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50847835724393))-π/2
    2×atan(0.221246379903967)-π/2
    2×0.217738833608561-π/2
    0.435477667217122-1.57079632675     		φ = -1.13531866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65497352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.822998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13531866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.048968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100060 KachelY 97004 1.65497352 -1.13531866 94.822998 -65.048968
    Oben rechts KachelX + 1 100061 KachelY 97004 1.65502146 -1.13531866 94.825745 -65.048968
    Unten links KachelX 100060 KachelY + 1 97005 1.65497352 -1.13533888 94.822998 -65.050126
    Unten rechts KachelX + 1 100061 KachelY + 1 97005 1.65502146 -1.13533888 94.825745 -65.050126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13531866--1.13533888) × R
    2.02199999999042e-05 × 6371000     		dl = 128.82161999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13531866--1.13533888) × R
    2.02199999999042e-05 × 6371000     		dr = 128.82161999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65497352-1.65502146) × cos(-1.13531866) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.421843534980997 × 6371000     		do = 128.841873835703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65497352-1.65502146) × cos(-1.13533888) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.42182520205476 × 6371000     		du = 128.83627448814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13531866)-sin(-1.13533888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421843534980997-0.42182520205476)×R²
    abs(1.65502146-1.65497352)×1.83329262374299e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83329262374299e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83329262374299e-05×40589641000000     		ar = 16597.2582532904m²