Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100060 / 100580
↖ ↑ ↗
← S 68.883316°
E 94.822998°		 ← 110.04 m → S 68.883316°
E 94.825745°		 →
↑
110.03 m
↓
↑
110.03 m
↓
S 68.884305°
E 94.822998°		 ← 110.03 m →
12 107 m²		 S 68.884305°
E 94.825745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763401031494141 y=0.767368316650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763401031494141 × 217)
    floor (0.763401031494141 × 131072)
    floor (100060.5)     		tx = 100060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767368316650391 × 217)
    floor (0.767368316650391 × 131072)
    floor (100580.5)     		ty = 100580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100060 / 100580 ti = "17/100060/100580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100060/100580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100060 ÷ 217
    100060 ÷ 131072     		x = 0.763397216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100580 ÷ 217
    100580 ÷ 131072     		y = 0.767364501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763397216796875 × 2 - 1) × π
    0.52679443359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65497352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767364501953125 × 2 - 1) × π
    -0.53472900390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.67990071028525
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65497352} λ = 1.65497352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67990071028525))-π/2
    2×atan(0.186392481977038)-π/2
    2×0.184277831527485-π/2
    0.368555663054971-1.57079632675     		φ = -1.20224066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65497352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.822998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20224066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.883316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100060 KachelY 100580 1.65497352 -1.20224066 94.822998 -68.883316
    Oben rechts KachelX + 1 100061 KachelY 100580 1.65502146 -1.20224066 94.825745 -68.883316
    Unten links KachelX 100060 KachelY + 1 100581 1.65497352 -1.20225793 94.822998 -68.884305
    Unten rechts KachelX + 1 100061 KachelY + 1 100581 1.65502146 -1.20225793 94.825745 -68.884305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20224066--1.20225793) × R
    1.72700000000692e-05 × 6371000     		dl = 110.027170000441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20224066--1.20225793) × R
    1.72700000000692e-05 × 6371000     		dr = 110.027170000441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65497352-1.65502146) × cos(-1.20224066) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360268463907241 × 6371000     		do = 110.03526218746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65497352-1.65502146) × cos(-1.20225793) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360252353557052 × 6371000     		du = 110.030341671832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20224066)-sin(-1.20225793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360268463907241-0.360252353557052)×R²
    abs(1.65502146-1.65497352)×1.61103501890025e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61103501890025e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61103501890025e-05×40589641000000     		ar = 12106.597803765m²