Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10006 / 10325
↖ ↑ ↗
← S 42.374778°
E 39.858399°		 ← 1 804.93 m → S 42.374778°
E 39.880371°		 →
↑
1 804.71 m
↓
↑
1 804.71 m
↓
S 42.391008°
E 39.858399°		 ← 1 804.46 m →
3 256 960 m²		 S 42.391008°
E 39.880371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610748291015625 y=0.630218505859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610748291015625 × 214)
    floor (0.610748291015625 × 16384)
    floor (10006.5)     		tx = 10006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630218505859375 × 214)
    floor (0.630218505859375 × 16384)
    floor (10325.5)     		ty = 10325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10006 / 10325 ti = "14/10006/10325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10006/10325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10006 ÷ 214
    10006 ÷ 16384     		x = 0.6107177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10325 ÷ 214
    10325 ÷ 16384     		y = 0.63018798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6107177734375 × 2 - 1) × π
    0.221435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69566029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63018798828125 × 2 - 1) × π
    -0.2603759765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.817995255116638
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69566029} λ = 0.69566029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.817995255116638))-π/2
    2×atan(0.44131549325143)-π/2
    2×0.41560846230394-π/2
    0.831216924607879-1.57079632675     		φ = -0.73957940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69566029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.858399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73957940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.374778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10006 KachelY 10325 0.69566029 -0.73957940 39.858399 -42.374778
    Oben rechts KachelX + 1 10007 KachelY 10325 0.69604378 -0.73957940 39.880371 -42.374778
    Unten links KachelX 10006 KachelY + 1 10326 0.69566029 -0.73986267 39.858399 -42.391008
    Unten rechts KachelX + 1 10007 KachelY + 1 10326 0.69604378 -0.73986267 39.880371 -42.391008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73957940--0.73986267) × R
    0.000283269999999947 × 6371000     		dl = 1804.71316999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73957940--0.73986267) × R
    0.000283269999999947 × 6371000     		dr = 1804.71316999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69566029-0.69604378) × cos(-0.73957940) × R
    0.000383490000000042 × 0.738752098897704 × 6371000     		do = 1804.93005417061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69566029-0.69604378) × cos(-0.73986267) × R
    0.000383490000000042 × 0.738561151724616 × 6371000     		du = 1804.46352921321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73957940)-sin(-0.73986267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738752098897704-0.738561151724616)×R²
    abs(0.69604378-0.69566029)×0.000190947173087763×R²
    0.000383490000000042×0.000190947173087763×6371000²
    0.000383490000000042×0.000190947173087763×40589641000000     		ar = 3256960.08960153m²