Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100059 / 101728
↖ ↑ ↗
← S 69.990535°
E 94.820252°		 ← 104.49 m → S 69.990535°
E 94.822998°		 →
↑
104.48 m
↓
↑
104.48 m
↓
S 69.991475°
E 94.820252°		 ← 104.48 m →
10 917 m²		 S 69.991475°
E 94.822998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763393402099609 y=0.776126861572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763393402099609 × 217)
    floor (0.763393402099609 × 131072)
    floor (100059.5)     		tx = 100059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776126861572266 × 217)
    floor (0.776126861572266 × 131072)
    floor (101728.5)     		ty = 101728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100059 / 101728 ti = "17/100059/101728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100059/101728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100059 ÷ 217
    100059 ÷ 131072     		x = 0.763389587402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101728 ÷ 217
    101728 ÷ 131072     		y = 0.776123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763389587402344 × 2 - 1) × π
    0.526779174804688 × 3.1415926535     		Λ = 1.65492559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776123046875 × 2 - 1) × π
    -0.55224609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73493227104907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65492559} λ = 1.65492559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73493227104907))-π/2
    2×atan(0.17641214809145)-π/2
    2×0.174615523268401-π/2
    0.349231046536803-1.57079632675     		φ = -1.22156528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65492559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.820252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22156528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.990535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100059 KachelY 101728 1.65492559 -1.22156528 94.820252 -69.990535
    Oben rechts KachelX + 1 100060 KachelY 101728 1.65497352 -1.22156528 94.822998 -69.990535
    Unten links KachelX 100059 KachelY + 1 101729 1.65492559 -1.22158168 94.820252 -69.991475
    Unten rechts KachelX + 1 100060 KachelY + 1 101729 1.65497352 -1.22158168 94.822998 -69.991475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22156528--1.22158168) × R
    1.63999999998055e-05 × 6371000     		dl = 104.484399998761m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22156528--1.22158168) × R
    1.63999999998055e-05 × 6371000     		dr = 104.484399998761m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65492559-1.65497352) × cos(-1.22156528) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.342175372492454 × 6371000     		do = 104.487366360366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65492559-1.65497352) × cos(-1.22158168) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.342159962414277 × 6371000     		du = 104.482660707611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22156528)-sin(-1.22158168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342175372492454-0.342159962414277)×R²
    abs(1.65497352-1.65492559)×1.5410078177347e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.5410078177347e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.5410078177347e-05×40589641000000     		ar = 10917.0539482566m²