Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100057 / 97561
↖ ↑ ↗
← S 65.686561°
E 94.814758°		 ← 125.75 m → S 65.686561°
E 94.817505°		 →
↑
125.70 m
↓
↑
125.70 m
↓
S 65.687692°
E 94.814758°		 ← 125.75 m →
15 807 m²		 S 65.687692°
E 94.817505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763378143310547 y=0.744335174560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763378143310547 × 217)
    floor (0.763378143310547 × 131072)
    floor (100057.5)     		tx = 100057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744335174560547 × 217)
    floor (0.744335174560547 × 131072)
    floor (97561.5)     		ty = 97561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100057 / 97561 ti = "17/100057/97561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100057/97561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100057 ÷ 217
    100057 ÷ 131072     		x = 0.763374328613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97561 ÷ 217
    97561 ÷ 131072     		y = 0.744331359863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763374328613281 × 2 - 1) × π
    0.526748657226562 × 3.1415926535     		Λ = 1.65482971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744331359863281 × 2 - 1) × π
    -0.488662719726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.5351792103323
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65482971} λ = 1.65482971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5351792103323))-π/2
    2×atan(0.21541708274335)-π/2
    2×0.21217478075247-π/2
    0.424349561504941-1.57079632675     		φ = -1.14644677
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65482971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.814758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14644677 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.686561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100057 KachelY 97561 1.65482971 -1.14644677 94.814758 -65.686561
    Oben rechts KachelX + 1 100058 KachelY 97561 1.65487765 -1.14644677 94.817505 -65.686561
    Unten links KachelX 100057 KachelY + 1 97562 1.65482971 -1.14646650 94.814758 -65.687692
    Unten rechts KachelX + 1 100058 KachelY + 1 97562 1.65487765 -1.14646650 94.817505 -65.687692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14644677--1.14646650) × R
    1.97299999999956e-05 × 6371000     		dl = 125.699829999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14644677--1.14646650) × R
    1.97299999999956e-05 × 6371000     		dr = 125.699829999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65482971-1.65487765) × cos(-1.14644677) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.411728115610188 × 6371000     		do = 125.752364388965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65482971-1.65487765) × cos(-1.14646650) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.41171013544824 × 6371000     		du = 125.746872784696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14644677)-sin(-1.14646650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411728115610188-0.41171013544824)×R²
    abs(1.65487765-1.65482971)×1.79801619479281e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79801619479281e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79801619479281e-05×40589641000000     		ar = 15806.7056792714m²