Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100057 / 101831
↖ ↑ ↗
← S 70.087112°
E 94.814758°		 ← 104.03 m → S 70.087112°
E 94.817505°		 →
↑
103.97 m
↓
↑
103.97 m
↓
S 70.088047°
E 94.814758°		 ← 104.02 m →
10 816 m²		 S 70.088047°
E 94.817505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763378143310547 y=0.776912689208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763378143310547 × 217)
    floor (0.763378143310547 × 131072)
    floor (100057.5)     		tx = 100057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776912689208984 × 217)
    floor (0.776912689208984 × 131072)
    floor (101831.5)     		ty = 101831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100057 / 101831 ti = "17/100057/101831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100057/101831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100057 ÷ 217
    100057 ÷ 131072     		x = 0.763374328613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101831 ÷ 217
    101831 ÷ 131072     		y = 0.776908874511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763374328613281 × 2 - 1) × π
    0.526748657226562 × 3.1415926535     		Λ = 1.65482971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776908874511719 × 2 - 1) × π
    -0.553817749023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.73986977170994
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65482971} λ = 1.65482971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73986977170994))-π/2
    2×atan(0.175543259827066)-π/2
    2×0.173772734656744-π/2
    0.347545469313488-1.57079632675     		φ = -1.22325086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65482971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.814758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22325086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.087112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100057 KachelY 101831 1.65482971 -1.22325086 94.814758 -70.087112
    Oben rechts KachelX + 1 100058 KachelY 101831 1.65487765 -1.22325086 94.817505 -70.087112
    Unten links KachelX 100057 KachelY + 1 101832 1.65482971 -1.22326718 94.814758 -70.088047
    Unten rechts KachelX + 1 100058 KachelY + 1 101832 1.65487765 -1.22326718 94.817505 -70.088047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22325086--1.22326718) × R
    1.63199999998476e-05 × 6371000     		dl = 103.974719999029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22325086--1.22326718) × R
    1.63199999998476e-05 × 6371000     		dr = 103.974719999029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65482971-1.65487765) × cos(-1.22325086) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.340591055321632 × 6371000     		do = 104.025275108922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65482971-1.65487765) × cos(-1.22326718) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.340575711024003 × 6371000     		du = 104.020588565464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22325086)-sin(-1.22326718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340591055321632-0.340575711024003)×R²
    abs(1.65487765-1.65482971)×1.53442976288942e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53442976288942e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53442976288942e-05×40589641000000     		ar = 10815.7552113748m²