Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100055 / 101867
↖ ↑ ↗
← S 70.120761°
E 94.809265°		 ← 103.83 m → S 70.120761°
E 94.812011°		 →
↑
103.85 m
↓
↑
103.85 m
↓
S 70.121695°
E 94.809265°		 ← 103.83 m →
10 783 m²		 S 70.121695°
E 94.812011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763362884521484 y=0.777187347412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763362884521484 × 217)
    floor (0.763362884521484 × 131072)
    floor (100055.5)     		tx = 100055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777187347412109 × 217)
    floor (0.777187347412109 × 131072)
    floor (101867.5)     		ty = 101867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100055 / 101867 ti = "17/100055/101867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100055/101867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100055 ÷ 217
    100055 ÷ 131072     		x = 0.763359069824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101867 ÷ 217
    101867 ÷ 131072     		y = 0.777183532714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763359069824219 × 2 - 1) × π
    0.526718139648438 × 3.1415926535     		Λ = 1.65473384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777183532714844 × 2 - 1) × π
    -0.554367065429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.74159550009626
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65473384} λ = 1.65473384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74159550009626))-π/2
    2×atan(0.17524058108632)-π/2
    2×0.173479089137106-π/2
    0.346958178274212-1.57079632675     		φ = -1.22383815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65473384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.809265°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22383815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.120761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100055 KachelY 101867 1.65473384 -1.22383815 94.809265 -70.120761
    Oben rechts KachelX + 1 100056 KachelY 101867 1.65478177 -1.22383815 94.812011 -70.120761
    Unten links KachelX 100055 KachelY + 1 101868 1.65473384 -1.22385445 94.809265 -70.121695
    Unten rechts KachelX + 1 100056 KachelY + 1 101868 1.65478177 -1.22385445 94.812011 -70.121695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22383815--1.22385445) × R
    1.62999999999691e-05 × 6371000     		dl = 103.847299999803m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22383815--1.22385445) × R
    1.62999999999691e-05 × 6371000     		dr = 103.847299999803m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65473384-1.65478177) × cos(-1.22383815) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.340038819783655 × 6371000     		do = 103.834944288005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65473384-1.65478177) × cos(-1.22385445) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.340023491032665 × 6371000     		du = 103.830263469485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22383815)-sin(-1.22385445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340038819783655-0.340023491032665)×R²
    abs(1.65478177-1.65473384)×1.5328750989918e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.5328750989918e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.5328750989918e-05×40589641000000     		ar = 10782.735564956m²