Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100054 / 97558
↖ ↑ ↗
← S 65.683168°
E 94.806518°		 ← 125.77 m → S 65.683168°
E 94.809265°		 →
↑
125.76 m
↓
↑
125.76 m
↓
S 65.684299°
E 94.806518°		 ← 125.76 m →
15 817 m²		 S 65.684299°
E 94.809265°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763355255126953 y=0.744312286376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763355255126953 × 217)
    floor (0.763355255126953 × 131072)
    floor (100054.5)     		tx = 100054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744312286376953 × 217)
    floor (0.744312286376953 × 131072)
    floor (97558.5)     		ty = 97558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100054 / 97558 ti = "17/100054/97558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100054/97558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100054 ÷ 217
    100054 ÷ 131072     		x = 0.763351440429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97558 ÷ 217
    97558 ÷ 131072     		y = 0.744308471679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763351440429688 × 2 - 1) × π
    0.526702880859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65468590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744308471679688 × 2 - 1) × π
    -0.488616943359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53503539963344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65468590} λ = 1.65468590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53503539963344))-π/2
    2×atan(0.215448064252248)-π/2
    2×0.212204388146851-π/2
    0.424408776293701-1.57079632675     		φ = -1.14638755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65468590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.806518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14638755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.683168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100054 KachelY 97558 1.65468590 -1.14638755 94.806518 -65.683168
    Oben rechts KachelX + 1 100055 KachelY 97558 1.65473384 -1.14638755 94.809265 -65.683168
    Unten links KachelX 100054 KachelY + 1 97559 1.65468590 -1.14640729 94.806518 -65.684299
    Unten rechts KachelX + 1 100055 KachelY + 1 97559 1.65473384 -1.14640729 94.809265 -65.684299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14638755--1.14640729) × R
    1.97399999999348e-05 × 6371000     		dl = 125.763539999585m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14638755--1.14640729) × R
    1.97399999999348e-05 × 6371000     		dr = 125.763539999585m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65468590-1.65473384) × cos(-1.14638755) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.411782082472827 × 6371000     		do = 125.768847257922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65468590-1.65473384) × cos(-1.14640729) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.411764093679063 × 6371000     		du = 125.763353017275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14638755)-sin(-1.14640729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411782082472827-0.411764093679063)×R²
    abs(1.65473384-1.65468590)×1.79887937641343e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79887937641343e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79887937641343e-05×40589641000000     		ar = 15816.7899656725m²