Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100053 / 96879
↖ ↑ ↗
← S 64.903745°
E 94.803772°		 ← 129.54 m → S 64.903745°
E 94.806518°		 →
↑
129.52 m
↓
↑
129.52 m
↓
S 64.904910°
E 94.803772°		 ← 129.54 m →
16 778 m²		 S 64.904910°
E 94.806518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763347625732422 y=0.739131927490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763347625732422 × 217)
    floor (0.763347625732422 × 131072)
    floor (100053.5)     		tx = 100053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739131927490234 × 217)
    floor (0.739131927490234 × 131072)
    floor (96879.5)     		ty = 96879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100053 / 96879 ti = "17/100053/96879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100053/96879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100053 ÷ 217
    100053 ÷ 131072     		x = 0.763343811035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96879 ÷ 217
    96879 ÷ 131072     		y = 0.739128112792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763343811035156 × 2 - 1) × π
    0.526687622070312 × 3.1415926535     		Λ = 1.65463796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739128112792969 × 2 - 1) × π
    -0.478256225585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.50248624479142
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65463796} λ = 1.65463796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50248624479142))-π/2
    2×atan(0.222576093008632)-π/2
    2×0.219006138636352-π/2
    0.438012277272704-1.57079632675     		φ = -1.13278405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65463796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.803772°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13278405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.903745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100053 KachelY 96879 1.65463796 -1.13278405 94.803772 -64.903745
    Oben rechts KachelX + 1 100054 KachelY 96879 1.65468590 -1.13278405 94.806518 -64.903745
    Unten links KachelX 100053 KachelY + 1 96880 1.65463796 -1.13280438 94.803772 -64.904910
    Unten rechts KachelX + 1 100054 KachelY + 1 96880 1.65468590 -1.13280438 94.806518 -64.904910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13278405--1.13280438) × R
    2.03300000001239e-05 × 6371000     		dl = 129.522430000789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13278405--1.13280438) × R
    2.03300000001239e-05 × 6371000     		dr = 129.522430000789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65463796-1.65468590) × cos(-1.13278405) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.424140228922009 × 6371000     		do = 129.543343282189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65463796-1.65468590) × cos(-1.13280438) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.424121818057005 × 6371000     		du = 129.537720130121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13278405)-sin(-1.13280438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424140228922009-0.424121818057005)×R²
    abs(1.65468590-1.65463796)×1.84108650038706e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.84108650038706e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.84108650038706e-05×40589641000000     		ar = 16778.404450827m²