Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100052 / 97012
↖ ↑ ↗
← S 65.058235°
E 94.801026°		 ← 128.77 m → S 65.058235°
E 94.803772°		 →
↑
128.76 m
↓
↑
128.76 m
↓
S 65.059393°
E 94.801026°		 ← 128.76 m →
16 580 m²		 S 65.059393°
E 94.803772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763339996337891 y=0.740146636962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763339996337891 × 217)
    floor (0.763339996337891 × 131072)
    floor (100052.5)     		tx = 100052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740146636962891 × 217)
    floor (0.740146636962891 × 131072)
    floor (97012.5)     		ty = 97012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100052 / 97012 ti = "17/100052/97012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100052/97012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100052 ÷ 217
    100052 ÷ 131072     		x = 0.763336181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97012 ÷ 217
    97012 ÷ 131072     		y = 0.740142822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763336181640625 × 2 - 1) × π
    0.52667236328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65459003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740142822265625 × 2 - 1) × π
    -0.48028564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.50886185244089
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65459003} λ = 1.65459003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50886185244089))-π/2
    2×atan(0.221161549247043)-π/2
    2×0.217657960184857-π/2
    0.435315920369714-1.57079632675     		φ = -1.13548041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65459003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.801026°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13548041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.058235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100052 KachelY 97012 1.65459003 -1.13548041 94.801026 -65.058235
    Oben rechts KachelX + 1 100053 KachelY 97012 1.65463796 -1.13548041 94.803772 -65.058235
    Unten links KachelX 100052 KachelY + 1 97013 1.65459003 -1.13550062 94.801026 -65.059393
    Unten rechts KachelX + 1 100053 KachelY + 1 97013 1.65463796 -1.13550062 94.803772 -65.059393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13548041--1.13550062) × R
    2.0209999999965e-05 × 6371000     		dl = 128.757909999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13548041--1.13550062) × R
    2.0209999999965e-05 × 6371000     		dr = 128.757909999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65459003-1.65463796) × cos(-1.13548041) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.421696875809934 × 6371000     		do = 128.770214042058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65459003-1.65463796) × cos(-1.13550062) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.421678550571745 × 6371000     		du = 128.764618210124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13548041)-sin(-1.13550062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421696875809934-0.421678550571745)×R²
    abs(1.65463796-1.65459003)×1.83252381889543e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.83252381889543e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.83252381889543e-05×40589641000000     		ar = 16579.8233770409m²