Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100052 / 96971
↖ ↑ ↗
← S 65.010706°
E 94.801026°		 ← 129 m → S 65.010706°
E 94.803772°		 →
↑
129.01 m
↓
↑
129.01 m
↓
S 65.011866°
E 94.801026°		 ← 128.99 m →
16 642 m²		 S 65.011866°
E 94.803772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763339996337891 y=0.739833831787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763339996337891 × 217)
    floor (0.763339996337891 × 131072)
    floor (100052.5)     		tx = 100052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739833831787109 × 217)
    floor (0.739833831787109 × 131072)
    floor (96971.5)     		ty = 96971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100052 / 96971 ti = "17/100052/96971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100052/96971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100052 ÷ 217
    100052 ÷ 131072     		x = 0.763336181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96971 ÷ 217
    96971 ÷ 131072     		y = 0.739830017089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763336181640625 × 2 - 1) × π
    0.52667236328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65459003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739830017089844 × 2 - 1) × π
    -0.479660034179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.50689643955647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65459003} λ = 1.65459003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50689643955647))-π/2
    2×atan(0.221596650442159)-π/2
    2×0.218072733853911-π/2
    0.436145467707823-1.57079632675     		φ = -1.13465086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65459003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.801026°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13465086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.010706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100052 KachelY 96971 1.65459003 -1.13465086 94.801026 -65.010706
    Oben rechts KachelX + 1 100053 KachelY 96971 1.65463796 -1.13465086 94.803772 -65.010706
    Unten links KachelX 100052 KachelY + 1 96972 1.65459003 -1.13467111 94.801026 -65.011866
    Unten rechts KachelX + 1 100053 KachelY + 1 96972 1.65463796 -1.13467111 94.803772 -65.011866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13465086--1.13467111) × R
    2.02499999999439e-05 × 6371000     		dl = 129.012749999643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13465086--1.13467111) × R
    2.02499999999439e-05 × 6371000     		dr = 129.012749999643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65459003-1.65463796) × cos(-1.13465086) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.422448914195187 × 6371000     		do = 128.999858010017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65459003-1.65463796) × cos(-1.13467111) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.422430559777172 × 6371000     		du = 128.994253267673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13465086)-sin(-1.13467111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422448914195187-0.422430559777172)×R²
    abs(1.65463796-1.65459003)×1.83544180145656e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.83544180145656e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.83544180145656e-05×40589641000000     		ar = 16642.2648904888m²