Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100051 / 96972
↖ ↑ ↗
← S 65.011866°
E 94.798279°		 ← 129.02 m → S 65.011866°
E 94.801026°		 →
↑
129.01 m
↓
↑
129.01 m
↓
S 65.013026°
E 94.798279°		 ← 129.02 m →
16 645 m²		 S 65.013026°
E 94.801026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763332366943359 y=0.739841461181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763332366943359 × 217)
    floor (0.763332366943359 × 131072)
    floor (100051.5)     		tx = 100051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739841461181641 × 217)
    floor (0.739841461181641 × 131072)
    floor (96972.5)     		ty = 96972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100051 / 96972 ti = "17/100051/96972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100051/96972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100051 ÷ 217
    100051 ÷ 131072     		x = 0.763328552246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96972 ÷ 217
    96972 ÷ 131072     		y = 0.739837646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763328552246094 × 2 - 1) × π
    0.526657104492188 × 3.1415926535     		Λ = 1.65454209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739837646484375 × 2 - 1) × π
    -0.47967529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.50694437645609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65454209} λ = 1.65454209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50694437645609))-π/2
    2×atan(0.221586028040375)-π/2
    2×0.218062608628264-π/2
    0.436125217256528-1.57079632675     		φ = -1.13467111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65454209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.798279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13467111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.011866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100051 KachelY 96972 1.65454209 -1.13467111 94.798279 -65.011866
    Oben rechts KachelX + 1 100052 KachelY 96972 1.65459003 -1.13467111 94.801026 -65.011866
    Unten links KachelX 100051 KachelY + 1 96973 1.65454209 -1.13469136 94.798279 -65.013026
    Unten rechts KachelX + 1 100052 KachelY + 1 96973 1.65459003 -1.13469136 94.801026 -65.013026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13467111--1.13469136) × R
    2.02499999999439e-05 × 6371000     		dl = 129.012749999643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13467111--1.13469136) × R
    2.02499999999439e-05 × 6371000     		dr = 129.012749999643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65454209-1.65459003) × cos(-1.13467111) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.422430559777172 × 6371000     		do = 129.021166318472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65454209-1.65459003) × cos(-1.13469136) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.422412205185935 × 6371000     		du = 129.015560353861m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13467111)-sin(-1.13469136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422430559777172-0.422412205185935)×R²
    abs(1.65459003-1.65454209)×1.83545912374461e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83545912374461e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83545912374461e-05×40589641000000     		ar = 16645.0138549606m²