Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100050 / 96882
↖ ↑ ↗
← S 64.907240°
E 94.795532°		 ← 129.53 m → S 64.907240°
E 94.798279°		 →
↑
129.52 m
↓
↑
129.52 m
↓
S 64.908404°
E 94.795532°		 ← 129.52 m →
16 776 m²		 S 64.908404°
E 94.798279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763324737548828 y=0.739154815673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763324737548828 × 217)
    floor (0.763324737548828 × 131072)
    floor (100050.5)     		tx = 100050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739154815673828 × 217)
    floor (0.739154815673828 × 131072)
    floor (96882.5)     		ty = 96882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100050 / 96882 ti = "17/100050/96882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100050/96882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100050 ÷ 217
    100050 ÷ 131072     		x = 0.763320922851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96882 ÷ 217
    96882 ÷ 131072     		y = 0.739151000976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763320922851562 × 2 - 1) × π
    0.526641845703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65449415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739151000976562 × 2 - 1) × π
    -0.478302001953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.50263005549028
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65449415} λ = 1.65449415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50263005549028))-π/2
    2×atan(0.222544086486642)-π/2
    2×0.218975642670828-π/2
    0.437951285341655-1.57079632675     		φ = -1.13284504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65449415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.795532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13284504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.907240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100050 KachelY 96882 1.65449415 -1.13284504 94.795532 -64.907240
    Oben rechts KachelX + 1 100051 KachelY 96882 1.65454209 -1.13284504 94.798279 -64.907240
    Unten links KachelX 100050 KachelY + 1 96883 1.65449415 -1.13286537 94.795532 -64.908404
    Unten rechts KachelX + 1 100051 KachelY + 1 96883 1.65454209 -1.13286537 94.798279 -64.908404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13284504--1.13286537) × R
    2.03299999999018e-05 × 6371000     		dl = 129.522429999374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13284504--1.13286537) × R
    2.03299999999018e-05 × 6371000     		dr = 129.522429999374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65449415-1.65454209) × cos(-1.13284504) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.424084995801125 × 6371000     		do = 129.526473665371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65449415-1.65454209) × cos(-1.13286537) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.424066584410264 × 6371000     		du = 129.520850352693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13284504)-sin(-1.13286537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424084995801125-0.424066584410264)×R²
    abs(1.65454209-1.65449415)×1.84113908608396e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.84113908608396e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.84113908608396e-05×40589641000000     		ar = 16776.2194464982m²