Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10005 / 10490
↖ ↑ ↗
← S 44.995883°
E 39.836426°		 ← 1 727.78 m → S 44.995883°
E 39.858399°		 →
↑
1 727.56 m
↓
↑
1 727.56 m
↓
S 45.011419°
E 39.836426°		 ← 1 727.31 m →
2 984 445 m²		 S 45.011419°
E 39.858399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610687255859375 y=0.640289306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610687255859375 × 214)
    floor (0.610687255859375 × 16384)
    floor (10005.5)     		tx = 10005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640289306640625 × 214)
    floor (0.640289306640625 × 16384)
    floor (10490.5)     		ty = 10490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10005 / 10490 ti = "14/10005/10490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10005/10490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10005 ÷ 214
    10005 ÷ 16384     		x = 0.61065673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10490 ÷ 214
    10490 ÷ 16384     		y = 0.6402587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61065673828125 × 2 - 1) × π
    0.2213134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69527679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6402587890625 × 2 - 1) × π
    -0.280517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.881271962615112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69527679} λ = 0.69527679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.881271962615112))-π/2
    2×atan(0.41425565871865)-π/2
    2×0.392735012642418-π/2
    0.785470025284835-1.57079632675     		φ = -0.78532630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69527679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.836426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78532630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.995883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10005 KachelY 10490 0.69527679 -0.78532630 39.836426 -44.995883
    Oben rechts KachelX + 1 10006 KachelY 10490 0.69566029 -0.78532630 39.858399 -44.995883
    Unten links KachelX 10005 KachelY + 1 10491 0.69527679 -0.78559746 39.836426 -45.011419
    Unten rechts KachelX + 1 10006 KachelY + 1 10491 0.69566029 -0.78559746 39.858399 -45.011419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78532630--0.78559746) × R
    0.000271159999999937 × 6371000     		dl = 1727.5603599996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78532630--0.78559746) × R
    0.000271159999999937 × 6371000     		dr = 1727.5603599996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69527679-0.69566029) × cos(-0.78532630) × R
    0.000383499999999981 × 0.707157594456286 × 6371000     		do = 1727.78294664668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69527679-0.69566029) × cos(-0.78559746) × R
    0.000383499999999981 × 0.706965843165514 × 6371000     		du = 1727.31444484059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78532630)-sin(-0.78559746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707157594456286-0.706965843165514)×R²
    abs(0.69566029-0.69527679)×0.000191751290772313×R²
    0.000383499999999981×0.000191751290772313×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191751290772313×40589641000000     		ar = 2984444.6650214m²