Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100047 / 97548
↖ ↑ ↗
← S 65.671856°
E 94.787292°		 ← 125.82 m → S 65.671856°
E 94.790039°		 →
↑
125.83 m
↓
↑
125.83 m
↓
S 65.672987°
E 94.787292°		 ← 125.82 m →
15 832 m²		 S 65.672987°
E 94.790039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763301849365234 y=0.744235992431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763301849365234 × 217)
    floor (0.763301849365234 × 131072)
    floor (100047.5)     		tx = 100047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744235992431641 × 217)
    floor (0.744235992431641 × 131072)
    floor (97548.5)     		ty = 97548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100047 / 97548 ti = "17/100047/97548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100047/97548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100047 ÷ 217
    100047 ÷ 131072     		x = 0.763298034667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97548 ÷ 217
    97548 ÷ 131072     		y = 0.744232177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763298034667969 × 2 - 1) × π
    0.526596069335938 × 3.1415926535     		Λ = 1.65435034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744232177734375 × 2 - 1) × π
    -0.48846435546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53455603063724
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65435034} λ = 1.65435034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53455603063724))-π/2
    2×atan(0.215551368132903)-π/2
    2×0.212303107488598-π/2
    0.424606214977196-1.57079632675     		φ = -1.14619011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65435034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.787292°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14619011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.671856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100047 KachelY 97548 1.65435034 -1.14619011 94.787292 -65.671856
    Oben rechts KachelX + 1 100048 KachelY 97548 1.65439828 -1.14619011 94.790039 -65.671856
    Unten links KachelX 100047 KachelY + 1 97549 1.65435034 -1.14620986 94.787292 -65.672987
    Unten rechts KachelX + 1 100048 KachelY + 1 97549 1.65439828 -1.14620986 94.790039 -65.672987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14619011--1.14620986) × R
    1.9749999999874e-05 × 6371000     		dl = 125.827249999197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14619011--1.14620986) × R
    1.9749999999874e-05 × 6371000     		dr = 125.827249999197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65435034-1.65439828) × cos(-1.14619011) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.411961998032156 × 6371000     		do = 125.82379810135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65435034-1.65439828) × cos(-1.14620986) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.411944001731522 × 6371000     		du = 125.818301567912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14619011)-sin(-1.14620986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411961998032156-0.411944001731522)×R²
    abs(1.65439828-1.65435034)×1.79963006336492e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.79963006336492e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.79963006336492e-05×40589641000000     		ar = 15831.7166932152m²