Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100047 / 96862
↖ ↑ ↗
← S 64.883934°
E 94.787292°		 ← 129.64 m → S 64.883934°
E 94.790039°		 →
↑
129.59 m
↓
↑
129.59 m
↓
S 64.885099°
E 94.787292°		 ← 129.63 m →
16 799 m²		 S 64.885099°
E 94.790039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763301849365234 y=0.739002227783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763301849365234 × 217)
    floor (0.763301849365234 × 131072)
    floor (100047.5)     		tx = 100047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739002227783203 × 217)
    floor (0.739002227783203 × 131072)
    floor (96862.5)     		ty = 96862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100047 / 96862 ti = "17/100047/96862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100047/96862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100047 ÷ 217
    100047 ÷ 131072     		x = 0.763298034667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96862 ÷ 217
    96862 ÷ 131072     		y = 0.738998413085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763298034667969 × 2 - 1) × π
    0.526596069335938 × 3.1415926535     		Λ = 1.65435034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738998413085938 × 2 - 1) × π
    -0.477996826171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.50167131749788
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65435034} λ = 1.65435034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50167131749788))-π/2
    2×atan(0.222757550268909)-π/2
    2×0.219179024144005-π/2
    0.43835804828801-1.57079632675     		φ = -1.13243828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65435034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.787292°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13243828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.883934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100047 KachelY 96862 1.65435034 -1.13243828 94.787292 -64.883934
    Oben rechts KachelX + 1 100048 KachelY 96862 1.65439828 -1.13243828 94.790039 -64.883934
    Unten links KachelX 100047 KachelY + 1 96863 1.65435034 -1.13245862 94.787292 -64.885099
    Unten rechts KachelX + 1 100048 KachelY + 1 96863 1.65439828 -1.13245862 94.790039 -64.885099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13243828--1.13245862) × R
    2.03400000000631e-05 × 6371000     		dl = 129.586140000402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13243828--1.13245862) × R
    2.03400000000631e-05 × 6371000     		dr = 129.586140000402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65435034-1.65439828) × cos(-1.13243828) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.424453331671798 × 6371000     		do = 129.63897292184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65435034-1.65439828) × cos(-1.13245862) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.424434914734741 × 6371000     		du = 129.63334791521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13243828)-sin(-1.13245862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424453331671798-0.424434914734741)×R²
    abs(1.65439828-1.65435034)×1.84169370570086e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.84169370570086e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.84169370570086e-05×40589641000000     		ar = 16799.0496335802m²