Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100046 / 96969
↖ ↑ ↗
← S 65.008385°
E 94.784546°		 ← 129.01 m → S 65.008385°
E 94.787292°		 →
↑
129.01 m
↓
↑
129.01 m
↓
S 65.009545°
E 94.784546°		 ← 129.01 m →
16 644 m²		 S 65.009545°
E 94.787292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763294219970703 y=0.739818572998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763294219970703 × 217)
    floor (0.763294219970703 × 131072)
    floor (100046.5)     		tx = 100046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739818572998047 × 217)
    floor (0.739818572998047 × 131072)
    floor (96969.5)     		ty = 96969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100046 / 96969 ti = "17/100046/96969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100046/96969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100046 ÷ 217
    100046 ÷ 131072     		x = 0.763290405273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96969 ÷ 217
    96969 ÷ 131072     		y = 0.739814758300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763290405273438 × 2 - 1) × π
    0.526580810546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65430241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739814758300781 × 2 - 1) × π
    -0.479629516601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.50680056575722
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65430241} λ = 1.65430241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50680056575722))-π/2
    2×atan(0.221617896773402)-π/2
    2×0.218092985625054-π/2
    0.436185971250108-1.57079632675     		φ = -1.13461036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65430241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.784546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13461036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.008385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100046 KachelY 96969 1.65430241 -1.13461036 94.784546 -65.008385
    Oben rechts KachelX + 1 100047 KachelY 96969 1.65435034 -1.13461036 94.787292 -65.008385
    Unten links KachelX 100046 KachelY + 1 96970 1.65430241 -1.13463061 94.784546 -65.009545
    Unten rechts KachelX + 1 100047 KachelY + 1 96970 1.65435034 -1.13463061 94.787292 -65.009545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13461036--1.13463061) × R
    2.0250000000166e-05 × 6371000     		dl = 129.012750001057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13461036--1.13463061) × R
    2.0250000000166e-05 × 6371000     		dr = 129.012750001057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65430241-1.65435034) × cos(-1.13461036) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.422485622511517 × 6371000     		do = 129.011067336009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65430241-1.65435034) × cos(-1.13463061) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.422467268439971 × 6371000     		du = 129.005462699463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13461036)-sin(-1.13463061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422485622511517-0.422467268439971)×R²
    abs(1.65435034-1.65430241)×1.83540715462671e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.83540715462671e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.83540715462671e-05×40589641000000     		ar = 16643.7110433358m²