Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100045 / 97554
↖ ↑ ↗
← S 65.678644°
E 94.781799°		 ← 125.79 m → S 65.678644°
E 94.784546°		 →
↑
125.76 m
↓
↑
125.76 m
↓
S 65.679775°
E 94.781799°		 ← 125.79 m →
15 820 m²		 S 65.679775°
E 94.784546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763286590576172 y=0.744281768798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763286590576172 × 217)
    floor (0.763286590576172 × 131072)
    floor (100045.5)     		tx = 100045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744281768798828 × 217)
    floor (0.744281768798828 × 131072)
    floor (97554.5)     		ty = 97554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100045 / 97554 ti = "17/100045/97554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100045/97554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100045 ÷ 217
    100045 ÷ 131072     		x = 0.763282775878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97554 ÷ 217
    97554 ÷ 131072     		y = 0.744277954101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763282775878906 × 2 - 1) × π
    0.526565551757812 × 3.1415926535     		Λ = 1.65425447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744277954101562 × 2 - 1) × π
    -0.488555908203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53484365203496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65425447} λ = 1.65425447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53484365203496))-π/2
    2×atan(0.215489379862124)-π/2
    2×0.212243870708888-π/2
    0.424487741417775-1.57079632675     		φ = -1.14630859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65425447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.781799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14630859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.678644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100045 KachelY 97554 1.65425447 -1.14630859 94.781799 -65.678644
    Oben rechts KachelX + 1 100046 KachelY 97554 1.65430241 -1.14630859 94.784546 -65.678644
    Unten links KachelX 100045 KachelY + 1 97555 1.65425447 -1.14632833 94.781799 -65.679775
    Unten rechts KachelX + 1 100046 KachelY + 1 97555 1.65430241 -1.14632833 94.784546 -65.679775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14630859--1.14632833) × R
    1.97399999999348e-05 × 6371000     		dl = 125.763539999585m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14630859--1.14632833) × R
    1.97399999999348e-05 × 6371000     		dr = 125.763539999585m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65425447-1.65430241) × cos(-1.14630859) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.411854036043232 × 6371000     		do = 125.790823730408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65425447-1.65430241) × cos(-1.14632833) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.411836047891342 × 6371000     		du = 125.785329685806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14630859)-sin(-1.14632833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411854036043232-0.411836047891342)×R²
    abs(1.65430241-1.65425447)×1.79881518895253e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79881518895253e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79881518895253e-05×40589641000000     		ar = 15819.5538169897m²