Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100045 / 96988
↖ ↑ ↗
← S 65.030423°
E 94.781799°		 ← 128.93 m → S 65.030423°
E 94.784546°		 →
↑
128.89 m
↓
↑
128.89 m
↓
S 65.031582°
E 94.781799°		 ← 128.93 m →
16 617 m²		 S 65.031582°
E 94.784546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763286590576172 y=0.739963531494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763286590576172 × 217)
    floor (0.763286590576172 × 131072)
    floor (100045.5)     		tx = 100045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739963531494141 × 217)
    floor (0.739963531494141 × 131072)
    floor (96988.5)     		ty = 96988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100045 / 96988 ti = "17/100045/96988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100045/96988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100045 ÷ 217
    100045 ÷ 131072     		x = 0.763282775878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96988 ÷ 217
    96988 ÷ 131072     		y = 0.739959716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763282775878906 × 2 - 1) × π
    0.526565551757812 × 3.1415926535     		Λ = 1.65425447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739959716796875 × 2 - 1) × π
    -0.47991943359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.50771136685001
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65425447} λ = 1.65425447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50771136685001))-π/2
    2×atan(0.221416138845459)-π/2
    2×0.217900664838111-π/2
    0.435801329676223-1.57079632675     		φ = -1.13499500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65425447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.781799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13499500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.030423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100045 KachelY 96988 1.65425447 -1.13499500 94.781799 -65.030423
    Oben rechts KachelX + 1 100046 KachelY 96988 1.65430241 -1.13499500 94.784546 -65.030423
    Unten links KachelX 100045 KachelY + 1 96989 1.65425447 -1.13501523 94.781799 -65.031582
    Unten rechts KachelX + 1 100046 KachelY + 1 96989 1.65430241 -1.13501523 94.784546 -65.031582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13499500--1.13501523) × R
    2.02300000000655e-05 × 6371000     		dl = 128.885330000417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13499500--1.13501523) × R
    2.02300000000655e-05 × 6371000     		dr = 128.885330000417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65425447-1.65430241) × cos(-1.13499500) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.422136965254267 × 6371000     		do = 128.931494994054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65425447-1.65430241) × cos(-1.13501523) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.422118626024239 × 6371000     		du = 128.925893721152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13499500)-sin(-1.13501523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422136965254267-0.422118626024239)×R²
    abs(1.65430241-1.65425447)×1.83392300284191e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83392300284191e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83392300284191e-05×40589641000000     		ar = 16617.0173193985m²