Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10004 / 2359
↖ ↑ ↗
← N 77.809412°
E 39.814453°		 ← 515.92 m → N 77.809412°
E 39.836426°		 →
↑
516.05 m
↓
↑
516.05 m
↓
N 77.804771°
E 39.814453°		 ← 516.11 m →
266 291 m²		 N 77.804771°
E 39.836426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610626220703125 y=0.144012451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610626220703125 × 214)
    floor (0.610626220703125 × 16384)
    floor (10004.5)     		tx = 10004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144012451171875 × 214)
    floor (0.144012451171875 × 16384)
    floor (2359.5)     		ty = 2359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10004 / 2359 ti = "14/10004/2359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10004/2359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10004 ÷ 214
    10004 ÷ 16384     		x = 0.610595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2359 ÷ 214
    2359 ÷ 16384     		y = 0.14398193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610595703125 × 2 - 1) × π
    0.22119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69489330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14398193359375 × 2 - 1) × π
    0.7120361328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.2369274838703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69489330} λ = 0.69489330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2369274838703))-π/2
    2×atan(9.36451441836814)-π/2
    2×1.4644133728204-π/2
    2.92882674564081-1.57079632675     		φ = 1.35803042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69489330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.814453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35803042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.809412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10004 KachelY 2359 0.69489330 1.35803042 39.814453 77.809412
    Oben rechts KachelX + 1 10005 KachelY 2359 0.69527679 1.35803042 39.836426 77.809412
    Unten links KachelX 10004 KachelY + 1 2360 0.69489330 1.35794942 39.814453 77.804771
    Unten rechts KachelX + 1 10005 KachelY + 1 2360 0.69527679 1.35794942 39.836426 77.804771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35803042-1.35794942) × R
    8.09999999999977e-05 × 6371000     		dl = 516.050999999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35803042-1.35794942) × R
    8.09999999999977e-05 × 6371000     		dr = 516.050999999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69489330-0.69527679) × cos(1.35803042) × R
    0.000383489999999931 × 0.211164241365925 × 6371000     		do = 515.919597624265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69489330-0.69527679) × cos(1.35794942) × R
    0.000383489999999931 × 0.211243414171206 × 6371000     		du = 516.113033793093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35803042)-sin(1.35794942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211164241365925-0.211243414171206)×R²
    abs(0.69527679-0.69489330)×7.91728052806362e-05×R²
    0.000383489999999931×7.91728052806362e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.91728052806362e-05×40589641000000     		ar = 266290.735884476m²